$\\$

Đáp án + giải thích các bước giải :

`a,`

Xét `\triangle NAD` và `\triangle  NCM` có :

$\begin{cases} AN=CN(gt)\\\widehat{DNA}=\widehat{MNC}\text{(2 góc đối đỉnh)}\\\widehat{NAD}=\widehat{NCM}(AD//BC)\end{cases}$

`=> \triangle NAD=\triangle NCM` (góc - cạnh - góc)

`b,`

`\triangle NAD=\triangle NCM` (cmt)

`=> AD=CM` (2 cạnh tương ứng) mà `BM=CM` (gt)

`=>AD=BM=CM`

Tứ giác `ADMB` có : $\begin{cases} AD//BM(AD//BC)\\AD=BM(cmt)\end{cases}⇔ADMB$ là hình bình hành

`c,`

Tính tỉ số `(AE)/(CD)`

Tứ giác `ADCM` có : $\begin{cases} AD//CM(AD//BC)\\AD=CM(cmt) \end{cases}⇔ADCM$ là hình bình hành

`=> AM=CD` (2 cạnh đối)

Xét `\triangle ABC` có : $\begin{cases} \text{BN là đường trung tuyến (gt)}\\\text{AM là đường trung tuyến (gt)}\\\text{BN cắt AM tại E (gt)} \end{cases}$

`=>E` là trọng tâm của `\triangle ABC`

`=> AE=2/3 AM`

`=>(AE)/(AM)=2/3`

`=> (AE)/(CD)=2/3`

Tìm điểu kiện của `\triangle ABC` để `AMCD` là hình chữ nhật

`AMCD` là hình chữ nhật `=>` $\begin{cases} DM=AC\\AN=CN,DN=MN\end{cases}$

`\triangle NAD=\triangle NCM` (cmt) 

`=>DN=MN` (2 cạnh tương ứng)

Có : $\begin{cases} CN=\dfrac{1}{2}AC(gt)\\MN=\dfrac{1}{2}MD(cmt) \end{cases}$

Mà `DM=AC` (cmt) 

`=>CN=MN`

`=> \triangle MNC` cân tại `N`

`=>hat{ACB}=hat{NMC}` (2 góc ở đáy)

`ADMB` là hình bình hành `(cmt)` $⇒ DM//AB$ (2 cạnh đối) hay $MN//AB$)

Có : $\begin{cases} \widehat{ACB}=\widehat{NMC}(cmt)\\\widehat{NMC}=\widehat{ABC}(MN//AB) \end{cases}$

`=> hat{ABC}=hat{ACB}`

`=> \triangle ABC` cân tại `A`

Vậy `\triangle ABC` cân tại `A` để `AMCD` là hình chữ nhật