a) Xét biệt thức $\Delta$ của phương trình:

$\begin{array}{l} \Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( {3m + 2} \right)^2} - 4\left( {2m - 3} \right)\\  = 9{m^2} + 12m + 4 - 8m + 12\\  = 9{m^2} + 4m + 16\\  = 9\left( {{m^2} + \dfrac{4}{9}m + \dfrac{{16}}{9}} \right)\\  = 9{\left( {m + \dfrac{2}{9}} \right)^2} + \dfrac{{140}}{9} \ge \dfrac{{140}}{9} > 0 \end{array}$

 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng định lý Viet ta được:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} = 3m + 2\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2m - 3
\end{array} \right.\\
A = {x_1}x_2^2 + x_1^2{x_2} = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\
 = \left( {2m - 3} \right)\left( {3m + 2} \right)\\
 = 6{m^2} + 4m - 9m - 6\\
 = 6{m^2} - 5m - 6\\
 = 6\left( {{m^2} - \dfrac{5}{6}m - 1} \right)\\
 = 6{\left( {m - \dfrac{5}{{12}}} \right)^2} - \dfrac{{169}}{{24}} \ge  - \dfrac{{169}}{{24}}\\
 \Rightarrow \min A =  - \dfrac{{169}}{{24}}\\
' = ' \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{{12}}
\end{array}$

Đáp án:

`b)` `A_{min}=-{169}/{24}` khi `m=5/{12}` 

Giải thích các bước giải:

 `\qquad x^2-(3m+2)x+2m-3=0`

Ta có: `a=1;b=-(3m+2);c=2m-3`

$\\$

`a)` `∆=b^2-4ac`

`=[-(3m+2)]^2-4.1.(2m-3)`

`=9m^2+12m+4-8m+12`

`=9m^2+4m+16`

`=[(3m)^2+2.3m. 2/3 +(2/3)^2]+16-(2/3)^2`

`=(3m+2/3)^2+{140}/9\ge {140}/9>0`

Vì `∆>0`

`=> ` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi `m`

$\\$

`b)` Theo hệ thức Viet ta có:

$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=3m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-3\end{cases}$

$\\$

`A=x_1x_2^2+x_1^2 x_2`

`=x_1x_2 (x_2+x_1)`

`=(2m-3)(3m+2)`

`=6m^2+4m-9m-6`

`=6m^2-5m-6`

`=6(m^2-5/6)-6`

`=6[m^2-2. m . 5/{12}+(5/{12})^2]-6-6.(5/{12})^2`

`=6.(m-5/{12})^2-{169}/{24}`

Với mọi `m\in RR` ta có:

`\qquad (m-5/{12})^2\ge 0`

`=>6(m-5/{12})^2-{169}/{24}\ge -{169}/{24}`

`=>A\ge -{169}/{24}`

$\\$

Dấu "=" xảy ra khi `m-5/{12}=0<=>m=5/{12}`

Vậy $GTNN$ của `A` bằng `-{169}/{24}` khi `m=5/{12}`