Đáp án:

$m\in \left( 1;5 \right)$

Giải thích các bước giải:

Cách 1: Bình phương chuyển về hẳng đằng thức

Có: $\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|+1=m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\Leftrightarrow \left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|=m-1\,\,\,\,\,\left( m\ge 1 \right)$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}^{2}}={{\left( m-1 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}^{2}}-{{\left( m-1 \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+2x-3+m-1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-3-m+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+2x-4+m \right)\left( {{x}^{2}}+2x-2-m \right)=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-4+m=0\,\,\,\left( 2 \right)$   hoặc   ${{x}^{2}}+2x-2-m=0\,\,\,\left( 3 \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,{{\Delta }_{2}}'=5-m$

$\bullet \,\,\,\,\,{{\Delta }_{3}}'=3+m$

Để $\left( 1 \right)$ có $4$ nghiệm phân biệt

Thì $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ đều có hai nghiệm phân biệt khác nhau

$\Leftrightarrow {{\Delta }_{2}}'>0$ và ${{\Delta }_{3}}'>0$ và ${{\Delta }_{2}}'\ne {{\Delta }_{3}}'$

$\Leftrightarrow 5-m>0$   và   $3+m>0$   và   $5-m\ne 3+m$

$\Leftrightarrow m<5$   và   $m>-3$   và   $m\ne 1$

$\Leftrightarrow m\in \left( -3;5 \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$

Kết hợp với điều kiện $m\ge 1$

Ta được kết quả cuối cùng là $m\in \left( 1;5 \right)$

Cách 2: Vẽ đồ thị

Có: $\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|+1=m$

$\Leftrightarrow \left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|=m-1$

Vẽ đồ thị $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+3$

Chọn bất kì $5$ điểm rồi vẽ

Sau đó vẽ hàm $\left| f\left( x \right) \right|$ bằng cách giữ nguyên phần đồ thị $f\left( x \right)$ ở phía trên trục hoành, rồi lấy đối xứng phần phía trục hoành qua trục hoành (bỏ phần phía dưới).

Dựa vào đồ thị, để có $4$ nghiệm phân biệt

Thì $0<m-1<4$

$\Leftrightarrow 1<m<5$

$\Leftrightarrow m\in \left( 1;5 \right)$