Đáp án:

chứng minh

Giải thích các bước giải:

$P = n^{5} - n$

⇔ $P = n( n^{4} - 1 )$

⇔ $P = n( n^{2} - 1 )( n^{2} + 1 )$

⇔ $P = n( n - 1 )( n + 1 )[ ( n^{2} - 4 ) + 5 ]$

⇔ $P = n( n - 1 )( n + 1 )( n^{2} - 4 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )$

⇔ $P = n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )$

Vì $n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )$ là tích của 5 số nguyên liên tiếp

⇒ $n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )$ $\vdots$ $5$

Vì $n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )$ là tích của 2 số nguyên liên tiếp

⇒ $n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )$ $\vdots$ $2$

Mà $( 2 ; 5 ) = 1$ ( nguyên tố cùng nhau )

⇒ $n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )$ $\vdots$ $10$ (1)

Vì $5n( n - 1 )( n + 1 )$ là tích của 2 số nguyên liên tiếp

⇒ $5n( n - 1 )( n + 1 )$ $\vdots$ $2$

Vì $5$ $\vdots$ $5$

⇒ $5n( n - 1 )( n + 1 )$ $\vdots$ $5$

⇒ $5n( n - 1 )( n + 1 )$ $\vdots$ $10$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $P$ $\vdots$ $10$