a)

Do $ABCD$ là hình bình hành

Nên $\widehat{BAD}+\widehat{CDA}=180{}^\circ $

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\widehat{BAD}+\dfrac{1}{2}\widehat{CDA}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{NAD}+\widehat{NDA}=90{}^\circ $

$\Rightarrow AN\bot DN$

$\Rightarrow \widehat{PNM}=90{}^\circ $

Tương tự: $\widehat{PQM}=\widehat{NPQ}=\widehat{NMQ}=90{}^\circ $

$\Rightarrow MNPQ$ là hình chữ nhật

b)

Cần xem lại đề, tại nó luôn đúng

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình hình bình hành $ABCD$

$\Rightarrow EF//AD$

Xét $\Delta PCD$ vuông tại $P$ với trung tuyến $PF$

$\Rightarrow FP=FD$

$\Rightarrow \Delta FPD$ cân tại $F$

$\Rightarrow \widehat{FPD}=\widehat{FDP}$

Mà $\widehat{FDP}=\widehat{ADP}$ (do phân giác)

Nên $\widehat{FPD}=\widehat{ADP}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $PF//AD$

Hoàn toàn tương tự: $ME//AD$

Vì: $\begin{cases}EF//AD\\PF//AD\\ME//AD\end{cases}$

Nên  $4$ điểm $E,P,M,F$ thẳng hàng

Tức là $MP//AD$

Vậy hình bình hành $ABCD$ không cần bất cứ điều kiện gì thì $MP$ vẫn song song với $AD$