$\begin{array}{l} \cos 2x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m + 1 = 0\\  \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m + 1 = 0\\  \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m = 0\\  \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 2m\cos x + \cos x - m = 0\\  \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos x - m} \right) + \cos x - m = 0\\  \Leftrightarrow \left( {\cos x - m} \right)\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = m\\ \cos x =  - \dfrac{1}{2} \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = m\\ x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi  \notin \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\\ x =  - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi  \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right] \end{array} \right. \end{array}$

Từ đó ta được $\cos x=m$ có đúng hai nghiệm thuộc đoạn đã xét.

$\begin{array}{l} x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\\  \Rightarrow 0 \le \cos x \le 1 \end{array}$

Yêu cầu bài toán lúc này tương đương với $\cos x=m$ có nghiệm trên đoạn $[0;1]$

Từ đó suy ra $0\le m \le 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

chúc bn hc tốt