`text{Đáp án:}` `(-3)^20 + 1` `text{không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp.}`

`text{Giải thích các bước giải:}`

`text{Đặt tích 2 số tự nhiên liên tiếp là}` `a(a + 1) = a^2 + a`

`text{Ta sẽ xét xem tích 2 số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 dư bao nhiêu.}`

`text{Trường Hợp 1:}`

`text{a chia hết cho 3}`

`=> a^2 \vdots 3 ; a \vdots 3`

`=> a^2 + a \vdots 3`

`=> a(a +1) \vdots 3`

`text{Trường Hợp 2:}`

`text{a chia 3 dư 1 => a có dạng 3k+1}`

`=> a^2 = (3k +1)^2 = (3k + 1)(3k + 1) = (3k + 1)3k + (3k + 1).1 = 9k^2 + 3k + 3k+1`

`= 3(3k^2 + k + k) + 1`

`=> a^2 + a = 3(3k^2 + k + k) + 1 + 3k + 1 = 3(3k^2 + k + k) + 1 +  1 `

`= 3(3k^2 + 3k) + 2`

`text{ta thấy}` `3(3k^2 + 3k) + 2` `text{chia 3 dư 2 .}`

`=> a^2 + a` `text{chia 3 dư 2}`

`=> a(a + 1)` `text{chia 3 dư 2}`

`text{Trường Hợp 3 : a chia 3 dư 2 }`

`=> a^2 = (3k + 2)^2 = (3k + 2)(3k + 2) = (3k + 2).3k + (3k + 2).2 = 9k^2 + 6k + 6k + 4`

`= 3.(3k^2 + 2k + 2k) + 4`

`=> a^2 + a = 3.(3k^2 + 3k + 3k) + 4 + 3k + 2 = 3(3k^2 + 2k + 2k + k) + 6 = 3(3k^2 + 5k) + 3.2 = 3.3(3k^2 + 5k + 2) \vdots 3`

`text{Như vậy tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2.}`

`text{Mà}` `(-3)^20 + 1 = 3^20 + 1` `text{chia 3 dư 1}`

`text{Vậy}` `(-3)^20 + 1` `text{không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp.}`

$\textit{Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

$\text{Gọi 2 số tự nhiên đó là}$ $x(x+1)$

$\text{Nếu $x\vdots3$ $x$ có dạng $3k+1$}$

`x(x+1)=3k(3k+1)\vdots3`

$\text{Nếu $x:$ 3 dư 1 $x$ có dạng $3k+2$}$

`x(x+1)=(3k+1)(3k+1+1)=(3k+1)(3k+2)=9k^2+6k+3k+2:3` $\text{dư 2}$

$\text{Nếu $x:$ 3 dư 2 $x$ có dạng $3k+2$}$

`x(x+1)=(3k+2)(3k+2+1)=(3k+2)(3k+3)=9k^2+9k+3k+3\vdots3`

$\text{Vậy tích hai số nguyên tiếp sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2}$

$\text{Mà}$ `(-3)^{20}\vdots3`

$1:3$ $\text{dư 1}$

$⇒ (-3)^{20}+1:3$ $\text{dư 1}$

$⇒ (-3)^{20} +1$ $\text{không phải là tích của 2 số nguyên liên tiếp}$