Đáp án:

$C.\ \dfrac52$

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\quad \log_2\dfrac{x^2 + 2y^2}{x^2 + 4xy + 3y^2} + x^2 - 4xy + 3y^2  +1 \leqslant 0\\
\Leftrightarrow \log_2(x^2 + 2y^2) + 1 - \log_2(x^2 + 4xy + 3y^2) + x^2 - 4xy + 3y^2 \leqslant 0\\
\Leftrightarrow \log_2(2x^2 + 4y^2) + 2x^2 + 4y^2 \leqslant \log_2(x^2 + 4xy +3y^2) + x^2 + 4xy + 3y^2\quad (*)\\
\text{Xét}\ f(t) = \log_2t + t\quad \forall t >0\\
\Rightarrow f'(t) = \dfrac{1}{t\ln2} + 1 >0\quad \forall t >0\\
\Rightarrow \text{$f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty)$}\\
\text{Do đó:}\\
(*) \Leftrightarrow 2x^2  +4y^2 \leqslant x^2 + 4xy + 3y^2\\
\Leftrightarrow x^2 - 4xy + 3y^2 \leqslant 0\\
\Leftrightarrow \left(\dfrac xy\right)^2 - 4\left(\dfrac xy\right) + 3 \leqslant 0\\
\Leftrightarrow 1 \leqslant \dfrac xy \leqslant 3\\
\text{Ta có:}\\
\quad P = \dfrac{2x^2 - xy + 2y^2}{2xy -y^2}\\
\Leftrightarrow P = \dfrac{2\left(\dfrac xy\right)^2 - \left(\dfrac xy\right) + 2}{2\left(\dfrac xy\right) - 1}\\
\text{Đặt}\ u = \dfrac xy,\ \ u\in [1;3]\\
\text{Ta được:}\\
\quad P = g(u) = \dfrac{2u^2 - u + 2}{2u - 1},\ \ u\in [1;3]\\
\Rightarrow g'(u) = \dfrac{4u^2 - 4u - 3}{(2u - 1)^2}\\
g'(u) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}u = - \dfrac12\\u = \dfrac32\end{array}\right.\\
\text{Bảng biến thiên $g(u)$ trên $[1;3]$}\\
\begin{array}{|c|cr|}
\hline
u &  1 & & & \dfrac{3}{2} & & & 3 \\
\hline
g'(u) &\vert & - & & 0\ &  & + &\vert\\
\hline
&3&&&&&&\dfrac{17}{5}\\
g(u) &&\searrow& && &\nearrow&\\
&&&&\dfrac52\\
\hline
\end{array}\\
\text{Dựa vào bảng biến thiên ta được:}\\
\min P = \mathop{\min}\limits_{[1;3]}g(u) = g\left(\dfrac32\right) = \dfrac52
\end{array}\)