Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$

Có: $BE=CJ\,;\,BE//CJ$

$\Rightarrow BECJ$ là hình bình hành $\Rightarrow EC=BJ$ và $EC//BJ$

Có: $AL=BH;AL//BH$

$\Rightarrow ALBH$ là hình bình hành $\Rightarrow AH=BL$ và $AH//BL$

$OM$ là đtb $\Delta ACE$$\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}EC$;$OM//EC$

$OP$ là đtb $\Delta BDJ$$\Rightarrow OP=\dfrac{1}{2}BJ$;$OP//BJ$

$\Rightarrow $ Ba điểm $M,O,P$ thẳg hàng

Cũng như $O$ là trung điểm $MP$ và $MP=EC$

$ON$ là đtb $\Delta ACH\Rightarrow ON=\dfrac{1}{2}AH;ON//AH$

$OQ$ là đtb $\Delta BDL$ $\Rightarrow OQ=\dfrac{1}{2}BL;OQ//BL$

$\Rightarrow $ Ba điểm $N,O,Q$ thẳng hàng

Cũng như $O$ là trung điểm $NQ$ và $NQ=AH$

Vậy $MNPQ$ là hình bình hành

Có: $\widehat{CBH}=\widehat{ABE}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{CBH}=\widehat{ABC}+\widehat{ABE}$

$\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{EBC}$

Kết hợp: $AB=EB\,;\,BH=BC$

$\Rightarrow \Delta ABH=\Delta EBC\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow AH=EC$

$\Rightarrow NQ=MP$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình chữ nhật

Từ $\Delta ABH=\Delta EBC\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{ECB}$

Gọi $R$ là giao điểm $AH$ và $BC$

Thì có $\widehat{AHB}+\widehat{BRH}=90{}^\circ $ ; $\widehat{BRH}=\widehat{CRA}$

$\Rightarrow \widehat{ECB}+\widehat{CRA}=90{}^\circ $

$\Rightarrow AH\bot EC$

Hay là $NQ\bot MP$

$\Rightarrow MNPQ$  là hình vuông