Đáp án: a) $(P): y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x-3$

                b) $(P):y=x^2-4x+3$

                c) $(P): y=4x^2-2x+1$

                d) $(P):y=\dfrac{8}{55}x^2-\dfrac{48}{55}x-2$

Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $x_I=\dfrac{-b}{2a}=2\Rightarrow 4a+b=0(1)$

$(P)$ đi qua đỉnh $I(2;-1)$

và cắt trục tung $Oy: x=0$ tại $y=-3$

Do đó tọa độ của 2 điểm $I(2;-1)$ và $(0;-3)$ thỏa mãn phương trình $(P)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} -1=a.2^2+b.2+c\\-3=a.0^2+b.0+c\end{array} \right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 4a+2b+c=-1(2)\\c=-3(3)\end{array} \right.$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a=\dfrac{-1}{2}\\ b=2 \\ c=-3\end{array} \right.$

Vậy phương trình $(P)$ là: $y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x-3$

b) Ta có $(P)$ đi qua 2 điểm $A(1;0)$ và $B(3;0)$ do đó tọa độ điểm $A$ và $B$ thỏa mãn phương trình Parabol

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 0=a.1^2+b.1+c\\ 0=a.3^2+b.3+c\end{array} \right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a+b+c=0(1)\\ 9a+3b+c=0(2)\end{array} \right.$

Lấy $(1)$ trừ $(2)$ $\Rightarrow 8a+2b=0\Rightarrow b=-4a$

$(1)\Rightarrow c=-a-b=-a-(-4b)=3a$

Đỉnh của Parabol nằm trên đường thẳng $y=-1$

Suy ra tung độ của đỉnh $y_I=-1=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}$

$\Rightarrow 4ac-b^2=-4a$

Thay $b=-4a$, $c=3a$ vào phương trình trên ta được:

$4a.3a-16a^2=-4a$ $\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a=0\Rightarrow b=c=a=0\Rightarrow y=0(l)\\ a=1\end{array} \right.$

$a=1\Rightarrow b=-4;c=3$

$\Rightarrow (P):y=x^2-4x+3$

c) Đỉnh của Parabol nằm trên trục hoành ($Ox:y=0$)

$\Rightarrow y_I=\dfrac{-\Delta}{4a}=0$

$\Rightarrow -(b^2-4ac)=0\Rightarrow 4ac-b^2=0 (1)$

Parabol đi qua $M(0;1)$ và $N(2;1)$ nên tọa độ của 2 điểm $M,N$ thỏa mãn phương trình $(P)$:

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 1=a.0^2+b.0+c\\ 1=a.2^2+b.2+c\end{array} \right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} c=1(2)\\ 4a+2b+c=1(3)\end{array} \right.$

$(3)\Rightarrow 4a=1-2b-c=1-2b-1=-2b$ thay vào 1 ta có:

$-2b-b^2=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}b=0\Rightarrow a=0\Rightarrow y=1(l)\\ b=-2\end{array} \right. $

$b=-2\Rightarrow 4a=-2b=-2(-2)=4\Rightarrow a=1$

$\Rightarrow (P): y=x^2-2x+1$

d) Trục đối xứng của Parabol là đường thẳng $x=3$

$\Rightarrow $ đỉnh $I\in$ đường thẳng $x=3$

$\Rightarrow x_I=3=\dfrac{-b}{2a}\Rightarrow 6a+b=0(1)$

Parabol đi qua $M(-5;6)$

Parabol cắt trục tung $Oy:x=0$ tại điểm có tung độ $y=-2$

Như vậy tọa độ điểm $M$ và điểm $(0;-2)$ thỏa mãn phương trình $(P)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 6=a.(-5)^2+b(-5)+c\\ -2=a.0^2+b.0+c\end{array} \right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}25a-5b+c=6(2)\\ c=-2(3)\end{array} \right.$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\dfrac{8}{55}\\b=\dfrac{-48}{55}\\c=-2\end{array} \right.$

Phương trình $(P):y=\dfrac{8}{55}x^2-\dfrac{48}{55}x-2$