Bạn tham khảo!

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\bullet$ a) 

Ta có $\overrightarrow{CM}$ $=$ $3\overrightarrow{CA}$ $-$ $\overrightarrow{CB}$ $+$ $\overrightarrow{AD}$

Phân tích $\overrightarrow{AM}$ $=$ $\overrightarrow{AC}$ $+$ $\overrightarrow{CM}$

Thay $\overrightarrow{CM}$ vào ta được:

$\overrightarrow{AM}$ $=$ $\overrightarrow{AC}$ $+$ $3\overrightarrow{CA}$ $-$ $\overrightarrow{CB}$ $+$ $\overrightarrow{AD}$

Xét vế phải:

$\overrightarrow{AC}$ $+$ $3\overrightarrow{CA}$ $-$ $\overrightarrow{CB}$ $+$ $\overrightarrow{AD}$

$=$ $\overrightarrow{AC}$ $-$ $3\overrightarrow{AC}$ $-$ $\overrightarrow{CB}$ $+$ $\overrightarrow{AD}$

$=$ $-2\overrightarrow{AC}$ $-$ $\overrightarrow{CB}$ $+$ $\overrightarrow{AD}$

$=$ $-2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$ $+$ $\overrightarrow{AD}$ $-$ $\overrightarrow{CB}$

$=$ $-2\overrightarrow{AB}$ $-$ $2\overrightarrow{AD}$$+$ $\overrightarrow{AD}$ $-$ $\overrightarrow{CB}$

$=$ $-2\overrightarrow{AB}$ $-$ $\overrightarrow{AD}$ $+$ $\overrightarrow{AD}$

$=$ $-2\overrightarrow{AB}$

Vậy lúc này $\overrightarrow{AM}$ $=$ $-2\overrightarrow{AB}$ ⇒ $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}$ cùng phương⇒$3$ điểm $M,A,B$ thẳng hàng

________________________________________________________________

$\bullet$ b)

Tìm tập hợp điểm $K$ sao cho thỏa mãn đẳng thức:

$|\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KD}|=|\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CD}|$

Xét vế trái:

$|\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KD}|$

$=|(\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EB})+(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CD})|$

Xét vế phải:

$|\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CD}|$

$=$ $|\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BA}|$

$=$ $|2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}|$

$=$ $|2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}|$

$=$ $|2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD}|$

$=$ $|\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|$

$=$ $|(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BA})+\overrightarrow{BC}|$

$=$ $|\overrightarrow{0}+\overrightarrow{BC}|$

$=$ $|\overrightarrow{BC}|$

Khi này: $|(\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EB})+(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CD})|=|\overrightarrow{BC}|$

Tiếp tục xét vế trái:

$|(\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EB})+(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CD})|$

$=|(\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KC})+(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CD})|$

$=|(\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KC})+(\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{CD})|$

$=|(\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KC})+\overrightarrow{CF}|$

$=|\overrightarrow{KE}+(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CF})|$

$=|\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KF}|$

Khi này: $|\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KF}|=|\overrightarrow{BC}|$

Gọi $J$ là trung điểm của $BC$

Khi đó: $|\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KF}|=|2\overrightarrow{KJ}|$

Vậy $|2\overrightarrow{KJ}|=|\overrightarrow{BC}|$

⇔$2{KJ}={BC}$

⇔${KJ}=\dfrac{BC}{2}$ $=$ const

Vậy tập hợp điểm $K$ thỏa mãn đẳng thức trên là đường tròn có tâm là trung điểm của $BC$ và bán kính $\dfrac{BC}{2}$ hoặc đường tròn có tâm là trung điểm $AD$ và bán kính $\dfrac{AD}{2}$.