Đáp án:

Giải thích các bước giải: Hướng dẫn

a) Dễ thấy $OEMF$ là hcn $=> I$ là trung điểm 

của $EF; OM => OI = \dfrac{OM}{2} = \dfrac{R}{2}$

$ => I$ thuộc $(O; \dfrac{R}{2}) $ cố định (đpcm)

$CE.DF.CD = \dfrac{CM^{2}}{OC}.\dfrac{DM^{2}}{OD}.CD$

$ = \dfrac{(CM.DM)^{2}.CD}{OC.OD} = \dfrac{(OM^{2})^{2}.CD}{OC.OD}$

$ = \dfrac{OM^{3}.OM.CD}{OM.CD} = OM^{3} = R^{3}$ ko đổi (đpcm)

b) Dễ thấy tam giác $OAC = OMC (c.g.c)$

$ =>$ góc $ OAC = OMC = 90^{0}$ hay $AC$ vuông góc $AB$
Tương tự $ BD$ vuông góc $AB => AC//BD$
$ => \dfrac{AN}{DN} = \dfrac{AC}{BD} = \dfrac{CM}{DM}$
$ => MN//AC => MN $ vuông góc $AB (đpcm)$

$ \dfrac{MN}{AC} = \dfrac{DN}{AD} = \dfrac{BK}{AB} = \dfrac{NK}{AC} => MN = NK (đpcm)$
c) Vẽ $ CH$ vuông $ MN$ tại $H; MG$ vuông $BD$ tại $G$
$ => CMH$ đồng dạng $MDG$
$ <=> \dfrac{MH}{CM} = \dfrac{DG}{DM}$

$ <=> \dfrac{MK - HK}{CM} = \dfrac{BD - BG}{DM}$

$ <=> \dfrac{MK - AC}{AC} = \dfrac{BD - MK}{MK}$

$ <=> \dfrac{MK}{AC} - 1 = 1 -  \dfrac{MK}{BD} $

$ <=> MK(\dfrac{1}{AC} + \dfrac{1}{BD}) = 2 $

$ <=> \dfrac{1}{AC} + \dfrac{1}{BD} = \dfrac{2}{MK}$

d) Đặt $ MN = x; CD = y $

Theo GT$: 64x^{2} + y^{2} = 16R^{2} (1)$
Mà theo câu c)$ \dfrac{1}{AC} + \dfrac{1}{BD} = \dfrac{2}{MK}$

$<=> \dfrac{AC + BD}{AC.BD} = \dfrac{1}{MN} <=> \dfrac{CD}{CM.DM} = \dfrac{1}{MN} <=> CD.MN = CM.DM $
$ <=> xy = OM^{2} = R^{2} (2)$
Thay $(2) $ vào $(1) : 64x^{2} + y^{2} = 16xy <=> (8x - y)^{2} = 0$
$ <=> y = 8x => MN = x = \dfrac{R\sqrt{2}}{4}; CD = y = 2R\sqrt{2}$