Đáp án:+Giải thích các bước giải:

a) Xét tứ giác ADME có: `\hat{A} = \hat{ADM} = \hat{AEM} = 90^o`

`=>` Tứ giác ADME là hình chữ nhật

b) Vì tứ giác ADME là hình chữ nhật

`=> AM = DE`

Xét $\triangle ABC$ vuông tại A có AM là đường trung tuyến

`=> AM = 1/2 BC`

`=> DE =1/2 BC`

c) Xét $\triangle BDM$ vuông tại D có DP là đường trung tuyến

`=> DP = 1/2 BM`

Xét $\triangle MEC$ vuông tại E có EQ là đường trung tuyến

`=> EQ = 1/2 MC`

Lại có: `BM = MC => DP = EQ` 

$+)DE= \dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.(BM+MC)=\dfrac{1}{2}.(2PM+2MQ)\\=\dfrac{1}{2}.2.(PM+MQ)=PQ$

Ta có: $\begin{cases} DP=EQ(cmt)\\DE=PQ(cmt)\end{cases}$

`=>` Tứ giác DPQE là hình bình hành

-- Gọi  $DQ ∩ PE = {K}$

         I là trung điểm của AM

Hình bình hành DPQE có K là giao điểm 2 đường chéo DQ và PE

`=>` K là trung điểm của DQ

Xét $\triangle DPQ$ có: $\begin{cases} PM=QM\\DK=QK\end{cases}$

`=>` MK là đường trung bình của $\triangle DPQ$

`=>` $MK//DP$  (1)

Xét hình bình hành DPQE có: $\begin{cases} PM=QM\\DI=EI\end{cases}$

`=>` IM là đường trung bình

`=>` $IM//DP$  (2)

Từ (1) và (2) `=>` I, K, M thẳng hàng `=> K ∈ AM`

`=>` Tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM

(Tâm đối xứng của hình hình hành là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành đó).

d) Nếu hình bình hành DPQE là hình chữ nhật

`=> \hat{MPD} = 90^o`

mà: $DP//IM$ `=> \hat{IMC} = \hat{MPD} = 90^o` (2 góc đồng vị)

`=> AM ⊥ BC`

Xét $\triangle ABC$ vuông tại A có AM là đường trung tuyến, vừa là đường cao 

`=>` $\triangle ABC$ vuông cân tại A