Đáp án:

 `S ={1}`

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ : `x \ge 2/3`

`\sqrt{3x-2}+ 2 \sqrt{x+3} = 2x^2 - 2x+5 `

`<=> 2 \sqrt{3x-2} + 4 \sqrt{x+3} = 4x^2 - 4x + 10`

`<=> 4x^2 - 4x + 10 - 2 \sqrt{3x-2} - 4 \sqrt{x+3} =0`

`<=> [ (3x-2) - 2 \sqrt{3x-2} + 1 ] + [ (x+3) - 4 \sqrt{x+3} + 4] + (4x^2 - 8x +4) = 0`

`<=> (\sqrt{3x-2}  -1)^2 + (\sqrt{x+3} - 2)^2 +  4 (x-1)^2 = 0`

`\forall x \ge 2/3` thì ta có :

`(\sqrt{3x-2} - 1)^2 \ge 0`

`(\sqrt{x+3} - 2)^2 \ge 0`

`4 (x-1)^2 \ge 0`

`=> (\sqrt{3x-2}  -1)^2 + (\sqrt{x+3} - 2)^2 +  4 (x-1)^2  \ge 0`

Dấu `=` xảy ra `<=> {(\sqrt{3x-2} - 1 = 0 ),(\sqrt{x+3} - 2 = 0 ),(x-1=0):}`

`<=> {(\sqrt{3x-2}  = 1  ),(\sqrt{x+3}  = 2 ),(x=1):}`

`<=> x = 1` (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm `x=1`

Đáp án:

`S={1}` 

Giải thích các bước giải:

Điều kiện : `x≥2/3`

`\sqrt[3x-2]+2\sqrt[x+3]=2x^2-2x+5`

`⇔` `2\sqrt[3x-2]+4\sqrt[x+3]=4x^2-4x+10`

`⇔` `4x^2-4x+10-2\sqrt[3x-2]-4\sqrt[x+3]=0`

`⇔` `[(\sqrt[3x-2])^2-2\sqrt[3x-2]+1]+[(\sqrt[x+3])^2-4\sqrt[x+3]+4]+(4x^2-8x+4)=0`

`⇔` `(\sqrt[3x-2]-1)^2+(\sqrt[x+3]-2)^2+4(x-1)^2=0`

Nhận xét :

`(\sqrt[3x-2]-1)^2≥0` `∀x≥2/3`

`(\sqrt[x+3]-2)^2≥0` `∀x≥2/3`

`4(x-1)^2≥0` `∀x≥2/3`

`⇒` `(\sqrt[3x-2]-1)^2+(\sqrt[x+3]-2)^2+4(x-1)^2≥0`

Dấu `=` xảy ra 

`⇔` $\begin{cases} \sqrt{3x-2}-1=0\\\sqrt{x+3}-2=0\\x-1=0 \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} \sqrt{3x-2}=1\\\sqrt{x+3}=2\\x=1 \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} 3x-2=1\\x+3=4\\x=1 \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} x=1\\x=1\\x=1 \end{cases}$

`⇔` `x=1` `(TMĐK)`

Vậy `S={1}`