$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} a) \ Áp\ dụng\ định\ lí\ pitago\ vào\ tam\ giác\ ABC\ ta\ có\ :\ \\ BC=\sqrt{AB^{2} +AC^{2}} =\sqrt{3^{2} +4^{2}} =\sqrt{25} =5( cm) \ \\ Áp\ dụng\ tỉ\ số\ lượng\ giác\ góc\ nhọn\ trong\ tam\ giác\ \\ vuông\ vào\ tam\ giác\ ABC\ ta\ có\ :\ \\ \sin B=\frac{AC}{BC} =\frac{4}{5} \Longrightarrow \hat{B} \approx 53'8'\ \\ \sin C=\frac{AB}{BC} =\frac{3}{5} \Longrightarrow C\approx 36'52'\\ b) \ Áp\ dụng\ tính\ chất\ đường\ phân\ giác\ trong\ tam\ giác\ ta\ có\ :\ \\ \frac{BE}{AB} =\frac{CE}{AC} \ hay\ \frac{BE}{3} =\frac{CE}{4}\\ Áp\ dụng\ tính\ chất\ của\ dãy\ tỉ\ số\ bằng\ nhau\ ta\ có\ :\ \\ \frac{BE}{AB} =\frac{CE}{AC} =\frac{BE+CE}{AB+AC} =\frac{BC}{3+4} =\frac{5}{7}\\ Vì\ \frac{BE}{3} =\frac{5}{7} \ \Longrightarrow BE=\frac{3.5}{7} =\frac{15}{7} \ ( cm) \ \\ \frac{CE}{4} =\frac{5}{7} \ \Longrightarrow CE=\frac{5.4}{7} =\frac{20}{7}( cm) \ \\ c) \ Xét\ tứ\ giác\ AMEN\ ta\ có\ :\ \\ \widehat{EMA} =\widehat{MAN} =\widehat{ANE} =\widehat{NEM} =90\ \\ Do\ đó\ tứ\ giác\ AMEN\ là\ hình\ chữ\ nhật\ \\ Và\ AE\ là\ phân\ giác\ góc\ \hat{A} \ \\ Do\ đó\ tứ\ giác\ AMEN\ là\ hình\ vuông\ \\ \Longrightarrow AM=ME=EN=AN\ \\ Xét\ tam\ giác\ BME\ và\ tam\ giác\ BAC\ ta\ có\ :\ \\ \hat{B} \ chung\ \\ \hat{A} =\widehat{BME} =( 90) \ \\ \Longrightarrow tam\ giác\ BME\ \sim \ tam\ giác\ BAC\ \\ Do\ đó\ :\ \frac{ME}{AC} =\frac{BE}{BC\ } \ hay\ \frac{ME}{4} =\frac{5}{28} \ \\ \Longrightarrow \ ME=\frac{20}{28} \ \\ \Longrightarrow SAMEN=\frac{20}{28} .4=\frac{20}{7} \end{array}$