$\\$

Đáp án + giải thích các bước giải :

$a,$

Xét $ΔMNQ$ có :

$\begin{cases} HM=HQ(gt)\\ME=NE(gt)\end{cases}$

$⇒HE$ là đường trung bình của $ΔMNQ$

Xét $ΔPQN$ có :

$\begin{cases} NF=PF(gt)\\QG=PG(gt) \end{cases}$

$⇒FG$ là đường trung bình của $ΔPNQ$

$b,$

$HE$ là đường trung bình của $ΔMNQ$ (cmt)

$⇒HE=\dfrac{1}{2}QN=\dfrac{1}{2}.10=5cm$

$FG$ là đường trung bình của $ΔPNQ$ (cmt)

$⇒FG=\dfrac{1}{2}QN=\dfrac{1}{2}.10=5cm$

$c,$

Có : $\begin{cases} HE=\dfrac{1}{2}QN(cmt)\\FG=\dfrac{1}{2}QN(cmt)\end{cases}$

$⇒HE=FG(=\dfrac{1}{2}NQ)$

$HE$ là đường trung bình của $ΔMNQ$ (cmt) $⇒HE//QN$

$FG$ là đường trung bình của $ΔPNQ$ (cmt) $⇒FG//QN$

Do đó : $HE//FG$

Tứ giác $HEFG$ có : $\begin{cases} HE=FG(cmt)\\HE//FG(cmt)\end{cases}$ $⇔HEFG$ là hình bình hành

$d,$

Gọi $I$ là giao của $MP,NQ,HF$

$MNPQ$ là hình bình hành (gt) có $MP$ và $NQ$ là 2 đường chéo

Mà $I$ là giao của $MP$ và $NQ$

$⇒I$ là trung điểm của $MP$

Lại có : $MP$ cắt $HF$ tại $I$

$⇒I$ là trung điểm của $HF$

$HEFG$ là hình bình hành (cmt) có $HF$ và $EG$ là 2 đường chéo

Nên $HF$ sẽ cắt $EG$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $I$ là trung điểm của $HF$ (cmt)

$⇒I$ là trung điểm của $EG$

$⇒EG$ đi qua $I$

Có : $EG$ đi qua $I$ (cmt), $MP$ đi qua $I$, $HF$ đi qua $I$

$⇒EG,MP,HF$ đồng quy tại $I$