Đáp án:

a.Vì ABCDlà hình bình hành 

→AC∩BD=O→là trung điểm mỗi đường

Mà M,Nà trung điểm OD,OB

→OM=1/2OD=1/2OB=ON

→O là trung điểm MN
→O vừa là trung điểm MN,AC
AMCN là hình bình hành

c.Ta có O là trung điểm của AC và MN nên ANCM là hình bình hành nên AM // CN suy ra AE // CF

Qua O vẽ đường song song ME cắt DC tại I. Trong tam giác DOI có M trung điểm DO và ME song song nên E là trung điểm DI nên DE = EI

Trong hình thang EMNC ( vì EM // CN) có O trung điểm MN và OI song song hai đáy ME và NC ( vì OI // ME) nên EI = IC vậy DE = EI = IC suy ra : DE = 1/2EC

b. Tứ giác afce có :

AF//EC   (AB//DC)

AE//FC (AM//CN)

⇒Tứ giác AFCE là HBH

HBH AFCE có AC ∩ EF tại O

⇒ O là trung điểm của EF hay E đối xứng vs F qua O

⇒OE=OF(đpcm)

d. Ta có T.giác  AFCE là hbh nên O là trung điểm hai đường chéo AC và EF

Lại có T.giác ABDC là HBH nên O cũng là trung điểm của BD

⇒BD đi qua O

⇒Các đường thẳng AC, BD, ÈF đồng quy tại O