Đáp án:

Giải thích các bước giải: Vắn tắt

a) Vẽ đường kính $BP; CQ$ của $(O); (O')$

$ => C; A; P $ thẳng hàng mà $OB = OP; MB = MC$

$ => DM//AE $ . Tương tự $ EM//AD => ADME$ là hbh

Mà $ DAE = 90^{0} => ADME$ là hcn (đpcm)

b) Trên $OA$ lấy $I$ sao cho :

$\dfrac{OI}{OA} = \dfrac{MG}{MA} = \dfrac{1}{3} => GI//MO (1)$ và $I$ cố định $(2)$

Tương tự trên $O'A$ lấy $J$ sao cho :

$\dfrac{O'J}{O'A} = \dfrac{MG}{MA} = \dfrac{1}{3} => GJ//MO' (3)$ và $J$ cố định $(4)$

Từ $(1); (3) => IGJ = OMO' = 90^{0} $ (vì $ADME$ là hcn)

$ => G$ nằm trên đường tròn đường kính $IJ$ cố định 

xác định như theo cách dựng $(2); (4)$

c) Gọi $ N$ là trung điểm $OO' => OO' = 2MN$

Kẻ $MH$ vuông góc $OO'$ tại $H $

$ => MO.MO' = 2S_{OMO'} = MH.OO'$

Ta có:

$AD//MO' => \dfrac{AD}{MO'} = \dfrac{OA}{OO'} (5)$

$AE//MO => \dfrac{AE}{MO} = \dfrac{O'A}{OO'} (6)$

$ (5).(6) : \dfrac{AD.AE}{MO.MO'} = \dfrac{OA.OA'}{OO'^{2}}$

$ <=> \dfrac{AD.AE}{MH.OO'} = \dfrac{OA.OA'}{OO'^{2}}$

$ <=> S_{ABC} = 2AD.AE = \dfrac{OA.OA'.2MH}{OO'}$

$ =< RR'.\dfrac{2MN}{OO'} = RR' $

Vậy $ MaxS_{ABC} = RR' <=> OMO'$ vuông cân tại $M$
hay khi $OB; O'C$ vuông góc $OO'$