Câu 1:

Gọi $A, B, C$ lần lượt là biến cố bệnh nhân bị tai, mũi, họng.

$\Rightarrow \begin{cases}P(A)= 25\%\\P(B)= 40\%\\P(C)= 35\%\end{cases}$

$\Rightarrow$ Hệ $\{A,B,C\}$ là một hệ đầy đủ

$D$ là biến cố bệnh nhân phải mổ

a) Xác suất bệnh nhân phải mổ:

$P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C)$

$\qquad\ = 25\%.1\% + 40\%.2\% + 35\%.3\%$

$\qquad\ = 0,021$

b) Khi bệnh nhân phải mổ, xác suất người này bị bệnh mũi là:

$P(B/D) = \dfrac{P(B).P(D/B)}{P(D)}$

$\qquad\qquad = \dfrac{40\%.2\%}{0,021}$

$\qquad\qquad = 0,381$

Câu 2:

$\quad f(x) = \begin{cases}k(5x - x^2),\quad khi\quad x \in [0;5]\\0,\kern50pt khi\quad x\notin [0;5]\end{cases}$

a) $f(x)$ là hàm mật độ xác suất khi và chỉ khi

$\quad \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$

$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_0^5f(x)dx = 1$

$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_0^5k(5x - x^2)dx = 1$

$\Leftrightarrow k\left(\dfrac{5x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^5 = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{125k}{6} = 1$

$\Leftrightarrow k = \dfrac{6}{125}$

b) Xác suất con côn trùng sống không quá `2` ngày:

$\quad P(X \leqslant 2) = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^2f(x)dx$

$\Leftrightarrow P(X \leqslant 2) = \displaystyle\int\limits_0^2f(x)dx$

$\Leftrightarrow P(X \leqslant 2) = \displaystyle\int\limits_0^2 \dfrac{6}{125}(5x - x^2)dx$

$\Leftrightarrow P(X \leqslant 2) = \dfrac{6}{125}\left(\dfrac{5x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2$

$\Leftrightarrow P(X \leqslant 2) = \dfrac{44}{125}$

c) Tuổi thọ trung bình của loài côn trùng trên:

$\quad E(X) = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$

$\Leftrightarrow E(X) = \displaystyle\int\limits_0^5xf(x)dx$

$\Leftrightarrow E(X) = \displaystyle\int\limits_0^5\dfrac{6}{125}(5x^2 - x^3)dx$

$\Leftrightarrow E(X) = \dfrac{6}{125}\left(\dfrac{5x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^5$

$\Leftrightarrow E(X) = \dfrac52$

Vậy loài côn trùng trên sống trung bình $2,5$ ngày