Đáp án:

$a)\quad r = 0,7591$

$b)\quad \hat{Y} = 2,4385 + 1,1538X$

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
Y\backslash X&1,2&1,4&1,5&1,6\\\hline
3,9&1&2&&\\\hline
4,1&&2&2&\\\hline
4,3&&&2&1\\\hline
\end{array}\)

a) Ta có bảng đồng thời $X$ và $Y:$

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline
X&Y&n_i\\\hline
1,2&3,9&1\\\hline
1,4&3,9&2\\\hline
1,4&4,1&2\\\hline
1,5&4,1&2\\\hline
1,5&4,3&2\\\hline
1,6&4,3&1\\\hline
\end{array}\)

Ta có bảng tính:

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
X_i&Y_i&X_i^2&Y_i^2&X_iY_i\\\hline
1,2&3,9&1,44&15,21&4,68\\\hline
1,4&3,9&1,96&15,21&5,46\\\hline
1,4&4,1&1,96&16,81&5,74\\\hline
1,5&4,1&2,25&16,81&6,15\\\hline
1,5&4,3&2,25&18,49&6,45\\\hline
1,6&4,3&2,56&18,49&6,88\\\hline
\sum X_i = 14,4&\sum Y_i = 41&\sum X_i^2 = 20,84&\sum Y_i^2= 168,34&\sum X_iY_i = 59,16\\\hline
\end{array}\)

Các giá trị trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu:

$\overline{X} = 1,44;\ \overline{Y} =4,1$

$s_X = 0,1075;\ s_Y = 0,1634$

Hệ số tương quan mẫu:

$r = \dfrac{\displaystyle\sum X_iY_i - n\overline{X}\overline{Y}}{(n-1)s_Xs_Y}$

$\quad = \dfrac{59,16 - 10\times 1,44\times 4,1}{9\times 0,1075\times 0,1634}$

$\quad = 0,7591$

b) Hàm hồi quy tuyến tính mẫu có dạng:

$\hat{Y} = A +BX$

Ta có:

$\bullet\quad B = r\cdot\dfrac{s_Y}{s_X} = 0,7591\cdot\dfrac{0,1634}{0,1075}= 1,1538$

$\bullet\quad A = \overline{Y} - B\overline{X} = 4,1 - 1,1538\times 1,44 = 2,4385$

Vậy phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của $Y$ theo $X$ là:

$\hat{Y} = 2,4385 + 1,1538X$