a)

$\Delta BCA\backsim\Delta BNM\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{BC}{BA}=\dfrac{BN}{BM}$

$\Rightarrow \Delta BCN\backsim\Delta BAM\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \Delta NCB\backsim\Delta MAB$

b)

Từ: $\begin{cases}HA=HM\\\widehat{AHM}=90{}^\circ\end{cases}\Rightarrow$$\Delta HAM$ vuông cân tại $H$

Gọi $E$ là giao điểm $HP$ và $AM$

Có: $PA=PM=\dfrac{1}{2}CN$ (trung tuyến ứng cạnh huyền)

Có: $HA=HM\left( gt \right)$

$\Rightarrow HP$ là đường trung trực của $AM$

$\Rightarrow HP\bot AM$ tại $E$

$\Rightarrow \widehat{EHM}=\widehat{EMH}=45{}^\circ $

Mà $\widehat{EMH}=\widehat{CNB}$ (vì $\Delta MAB\backsim\Delta NCB$)

$\Rightarrow \widehat{EHM}=\widehat{CNB}=45{}^\circ $

Lại có $\widehat{BCN}$ chung

$\Rightarrow \Delta CPH\backsim\Delta CBN\Rightarrow \dfrac{CP}{CH}=\dfrac{CB}{CN}$

c)

Vẽ phân giác $AD$ của $\Delta ABC$ $\Rightarrow \widehat{CAD}=45{}^\circ $

Ngoài ra $\Delta ACN$ vuông cân nên $\widehat{CAP}=45{}^\circ $

Vậy $\widehat{DAQ}=90{}^\circ \Rightarrow AD\bot AQ\Rightarrow AQ$  là phân giác ngoài

Theo tính chất phân giác trong, phân giác ngoài:

Ta sẽ có: $\dfrac{QC}{QB}=\dfrac{AC}{AB}$

Mà $\dfrac{AC}{AB}=\cot \widehat{ACB}=\cot \widehat{MNA}$

Vậy $\dfrac{QC}{QB}=\cot \widehat{MNA}$