$\\$

Đáp án + giải thích các bước giải :

`a,`

$\bullet$ Xét `ΔABC` và `ΔANC` có :

`AB=AN` (gt)

`AC` chung

`hat{BAC}=hat{NAC}=90^o` (gt)

`=> ΔABC = ΔANC` (cạnh - góc - cạnh)

`=>hat{ACB}=hat{ACN}` (2 góc tương ứng)

Hay `CA` là tia phân giác của `hat{BCN}`

`b,`

$\bullet$ `ΔABC=ΔANC` (cmt)

`=>BC=NC` (2 cạnh tương ứng)

$\bullet$ Xét `ΔBCP` và `ΔNCP` có :

`PC` chung

`BC=NC` (cmt)

`hat{BCP}=hat{NCP}` (`CA` là tia phân giác của `hat{BCN}`)

`=> ΔBCP=ΔNCP` (cạnh - góc - cạnh)

`c,`

$\bullet$ `AP=1/2 AC` (`P` là trung điểm của `AC`)

`=>AC=2AP`

Mà `AC=2AB` (gt)

`=>2AP=2AB`

`=>AP=AB`

`=> ΔABP` cân tại `A`

`=>hat{APB}=(180^o - hat{BAP})/2=(180^o - 90^o)/2=45^o`

$\bullet$ `AP=AB` (cmt)

Mà `AB=AN` (gt)

`=> AP=AN (=AB)`

`=> ΔAPN` cân tại `A`

`=>hat{APN}=(180^o - hat{NAP})/2=(180^o - 90^o)/2=45^o`

$\bullet$ `hat{BPN}=hat{APB}+hat{APN}=45^o + 45^o=90^o`

`=> NP⊥BP`

Mà $NP//AK$ (gt)

`⇒ AK⊥BP`

`d,`

$\bullet$ `ΔABP` cân tại `A` (cmt)

Mà `AK` là đường cao (`AK⊥BP`)

`=> AK` là đường trung tuyến

`=> K` là trung điểm của `BP`

$\bullet$ Xét `ΔABK` và `ΔMPK` có :

`BK=PK` (`K` là trung điểm của `BP`)

`hat{AKB}=hat{MKP}` (2 góc đối đỉnh)

`hat{ABK}=hat{MPK}` ($AB//MP$)

`=> ΔABK=ΔMPK` (góc - cạnh - góc)

`=> AB=MP` (2 cạnh tương ứng)

Mà `AB=AN` (gt)

`=> MP=AN (=AB)`

$\bullet$ `AB⊥AC` (gt), $AB//MP$ (gt)

`=> MP⊥AC`

$\bullet$ Xét `ΔAEN` và `ΔPEM` có :

`AE=PE` (`E` là trung điểm của `AP`)

`AN=MP` (cmt)

`hat{NAE}=hat{MPE}=90^o` (`MP⊥AC, AN⊥AC`)

`=> ΔAEN=ΔPEM` (cạnh - góc - cạnh)

`=>hat{AEN}=hat{PEM}` (2 góc đối đỉnh)

$\bullet$ `hat{AEM}+hat{PEM}=180^o` (2 góc kề bù)

`=> hat{AEM}+hat{AEN}=180^o`

`=>hat{MEN}=180^o`

`=>hat{MEN}` là góc bẹt

`=>M,E,N` thẳng hàng