Đáp án:

$a)\quad \left|2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\right| = a\sqrt7$

$b)\quad \left|2\overrightarrow{AB}+ 3\overrightarrow{AC}\right| = a\sqrt{19}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M, N$ là điểm sao cho $AM = 2AB;\ AN = 3AC\ (M,N$ khác phía $A$ so với bờ $BC)$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{AC}\end{cases}$

a) $\left|2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\right|$

$= \left|\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}\right|$

$= \left|\overrightarrow{NM}\right|$

$=MN$

Áp dụng định lý $\cos$ vào $\triangle AMN$ ta được:

$\quad MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2AM.AN.\cos\widehat{MAN}$

$\Leftrightarrow MN^2= (2a)^2 + (3a)^2 - 2.2a.3a.\cos60^\circ$

$\Leftrightarrow MN^2 = 7a^2$

$\Rightarrow MN = a\sqrt7$

Vậy $\left|2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\right| = a\sqrt7$

b) $\left|2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\right|$

$= \left|\overrightarrow{AM} +\overrightarrow{AN}\right|$

$= \left|2\overrightarrow{AK}\right|$

$= 2AK$ (với $K$ là trung điểm $MN$

Áp dụng công thức đường trung tuyến, ta được:

$\quad AK^2 = \dfrac{2(AM^2  +AN^2) - MN^2}{4}$

$\Leftrightarrow AK^2 = \dfrac{2(4a^2 + 9a^2) - 7a^2}{4}$

$\Leftrightarrow AK^2 = \dfrac{19a^2}{4}$

$\Rightarrow AK= \dfrac{a\sqrt{19}}{2}$

$\Rightarrow 2AK = a\sqrt{19}$

Vậy $\left|2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\right| = a\sqrt{19}$