Vì $p$, $q$ là số nguyên tố, mà $pq+11$ cũng là số nguyên tố

⇒ $pq$ chẵn

Giả sử $p=2$

⇒ $7p+q=14+q$

⇒ $q$ lẽ

⇒ $q=3; 3k+1; 3k+2$

Nếu $q=3$ thì $14+3=17$ là số nguyên tố

                         $2.3+11=17$ là số nguyên tố

⇒ Thỏa mãn

Nếu $q=3k+1$ thì $14+3k+1=15+3k=3.(5+k)$⋮ $3$

⇒ Không thỏa mãn

Nếu $q=3k+2$ thì $2.(3k+2)+11=2.3k+15= 3.(2k+5)$⋮ $3$

⇒ Không thỏa mãn

⇒ $p=2;q=3$

Giả sử $q=2$

⇒ $p$ lẽ vì $7p+2$ là số nguyên tố lớn hơn $3$

⇒ $p=3;3k+1;3k+2$

Nếu $p=3$ thì $7.3+2=23$ là số nguyên tố

                     $2.3+11=17$ là số nguyên tố

⇒ Thỏa mãn

Nếu $p=3k+1$ thì $7.(3k+1)+2=7.3k+9=3.(7k+3)$⋮ $3$

⇒ Không thỏa mãn

Nếu $p=3k+2$ thì $2.(3k+2)+11=2.3k+15= 3.(2k+5)$⋮ $3$

⇒ Không thỏa mãn

⇒ $p=3;q=2$

Nhận thấy p ; q ≥ 3 và nếu p ; q = 2 thì không thỏa mãn đề bài

Nếu pq + 11 số nguyên tố thì nó phải là số lẻ. Do đó nó là số nguyên tố lớn hơn 2

⇒ Ít nhất một trong hai số p và q bằng 2 (số nguyên tố chẵn)

Gỉa sử p = 2

Khi đó 7p + q = 7 . 2 + q = 14 + q

+) Nếu q = 2 thì 7p + q = 7 . 2 + 2 = 16 (không thỏa mãn đề bài)  (loại)

+) Nếu q = 3 thì 7p + q = 7 . 2 + 3 = 17 ; pq + 11 = 2 . 3 + 11 = 17 (thỏa mãn)  (chọn)

+) Nếu q = 3k + 1 (k thuộc N) thì 7p + q = 14 + 3k + 1 = 3. (k + 5) (loại)

+) Nếu q = 3k + 2 (k thuộc N) thì pq + 11 = 2q + 11 = 2 (3k + 2) + 11 = 6k + 15 = 3 (2k + 5) (loại)

⇒ p = 2 ; q = 3

Chứng minh tương tự với q = 2 ta thu được p = 3 ; q = 2

Vậy với p = 2 thì q = 3

       với p = 3 thì q = 2

Chúc bạn học tốt !!!