\(\begin{array}{l}
\textbf{Câu 1:}\\
a)\quad \text{Ta có:}\\
\bullet\quad P(X = 0,Y = 0) = \dfrac{C_5^2}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_3^3}{C_{11}^3} = \dfrac{1}{462}\\
\bullet\quad P(X = 1,Y = 0) = \dfrac{C_3^1.C_5^1}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_3^3}{C_{11}^3} = \dfrac{1}{308}\\
\bullet\quad P(X = 2,Y = 0) = \dfrac{C_3^2}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_3^3}{C_{11}^3} = \dfrac{1}{1540}\\
\bullet\quad P(X = 0,Y = 1) = \dfrac{C_5^2}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_8^1.C_3^2}{C_{11}^3} = \dfrac{4}{77}\\
\bullet\quad P(X = 1,Y = 1) = \dfrac{C_3^1.C_5^1}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_8^1.C_3^2}{C_{11}^3} = \dfrac{6}{77}\\
\bullet\quad P(X = 2,Y = 1) = \dfrac{C_3^2}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_8^1.C_3^2}{C_{11}^3} = \dfrac{6}{385}\\
\bullet\quad P(X = 0,Y = 2) = \dfrac{C_5^2}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_8^2.C_3^1}{C_{11}^3} = \dfrac{2}{11}\\
\bullet\quad P(X = 1,Y = 2) = \dfrac{C_3^1.C_5^1}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_8^2.C_3^1}{C_{11}^3} = \dfrac{3}{11}\\
\bullet\quad P(X = 2,Y = 2) = \dfrac{C_3^2}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_8^2.C_3^1}{C_{11}^3} = \dfrac{3}{55}\\
\bullet\quad P(X = 0,Y = 3) = \dfrac{C_5^2}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_8^3}{C_{11}^3} = \dfrac{4}{33}\\
\bullet\quad P(X = 1,Y = 3) = \dfrac{C_3^1.C_5^1}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_8^3}{C_{11}^3} = \dfrac{2}{11}\\
\bullet\quad P(X = 2,Y = 3) = \dfrac{C_3^2}{C_8^2}\cdot \dfrac{C_8^3}{C_{11}^3} = \dfrac{2}{55}\\
\text{Bảng phân phối xác suất đồng thời:}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
X\backslash Y&0&1&2&3\\\hline
0&\dfrac{1}{462}&\dfrac{4}{77}&\dfrac{2}{11}&\dfrac{4}{33}\\\hline
1&\dfrac{1}{308}&\dfrac{6}{77}&\dfrac{3}{11}&\dfrac{2}{11}\\\hline
2&\dfrac{1}{1540}&\dfrac{6}{385}&\dfrac{3}{55}&\dfrac{2}{55}\\\hline
\end{array}\\
b)\quad \text{Từ bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y, ta được:}\\
\bullet\quad\text{Bảng phân phối xác suất của thành phần X:}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
X&0&1&2\\\hline
P&\dfrac{5}{14}&\dfrac{15}{28}&\dfrac{3}{28}\\\hline
\end{array}\Rightarrow \begin{cases}E(X) =\dfrac34 \\Var(X) = \dfrac{45}{112}\end{cases}\\
\bullet\quad\text{Bảng phân phối xác suất của thành phần Y:}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
Y&0&1&2&3\\\hline
P&\dfrac{1}{165}&\dfrac{8}{55}&\dfrac{28}{55}&\dfrac{56}{165}\\\hline
\end{array}\Rightarrow \begin{cases}E(Y) =\dfrac{24}{11} \\Var(Y) = \dfrac{288}{605}\end{cases}\\
\text{Ta được:}\\
\bullet\quad E(XY) = 1\times 1\times \dfrac{6}{77} + 1\times 2\times \dfrac{3}{11} + 1\times 3\times \dfrac{2}{11}\\
\kern50pt +\ 2\times 1\times \dfrac{6}{385} + 2\times 2\times \dfrac{3}{55} + 2\times 3\times \dfrac{2}{55}\\
\Leftrightarrow E(XY) = \dfrac{18}{11}\\
\bullet\quad \text{Hiệp phương sai}\\
\quad\text{cov}(X,Y) = E(XY) - E(X).E(Y)\\
\Leftrightarrow \text{cov}(X,Y)=\dfrac{18}{11} - \dfrac34\times\dfrac{24}{11}\\
\Leftrightarrow \text{cov}(X,Y)=0\\
\bullet\quad \text{Hệ số tương quan}\\
\quad \rho_{XY} = \dfrac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}.\sqrt{Var(Y)}} = 0\\
\text{Ban đầu, việc lấy bi xanh của hộp 1 và bi đỏ của hộp 2 là độc lập với nhau.}\\
\text{điều đó cho thấy X và Y là hai biến độc lập. Và với việc $\rho_{XY} =0$ }\\
\text{càng chứng tỏ dự đoán là chính xác}\\
\text{Vậy X và Y là hai biến độc lập nhau}\\
\textbf{Câu 2:}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Trọng lượng}&24&25&26&27&28&29&30\\\hline
\text{Số sản phẩm}&3&8&13&24&16&10&6\\\hline
\end{array}\\
a)\quad \text{Ta có số liệu các sản phẩm không đạt tiêu chuẩn:}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Trọng lượng}&24&25\\\hline
\text{Số sản phẩm}&3&8\\\hline
\end{array}\\
n = 11;\ \overline{x} = \dfrac{272}{11};\ s = 0,4671\\
\text{Ta có:}\\
\bullet\quad \text{Độ tin cậy:}\ 1 -\alpha = 95\%\\
\Rightarrow t_{\left(n-1;\tfrac{\alpha}{2}\right)}= t_{(10;0,025)} = 2,2281\\
\bullet\quad \text{Độ chính xác:}\\
\varepsilon = 2,2281\cdot\dfrac{0,4671}{\sqrt{11}} = 0,3138\\
\text{Gọi $\mu$ là trọng lượng trung bình của sản phẩm không đạt tiêu chuẩn}\\
\text{Khoảng ước lượng trọng lượng trung bình của sản phẩm}\\
\text{không đạt tiêu chuẩn là:}\\
\mu \in \left(\dfrac{272}{11} - 0,3138;\dfrac{272}{11} + 0,3138\right) = (24,4135;25,0411)\\
b)\quad \text{Ta có số liệu các sản phẩm đạt tiêu chuẩn:}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Trọng lượng}&26&27&28&29&30\\\hline
\text{Số sản phẩm}&13&24&16&10&6\\\hline
\end{array}\\
n= 69;\ \overline{x} = \dfrac{1904}{69};\ s= 1,2044\\
\text{Ta có:}\\
\bullet\quad \text{Độ tin cậy:}\ 1 -\alpha = 97\%\\
\Rightarrow Z_{\alpha}= \varphi^{-1}(0,47) = 1,88\\
\bullet\quad \text{Độ chính xác:}\\
\varepsilon = 1,88\cdot\dfrac{1,2044}{\sqrt{69}} = 0,2726\\
\text{Gọi $\mu$ là trọng lượng trung bình của sản phẩm đạt tiêu chuẩn}\\
\text{Khoảng ước lượng trọng lượng trung bình của sản phẩm}\\
\text{đạt tiêu chuẩn là:}\\
\mu < \dfrac{1904}{69} + 0,2726 = 27,8668\\
\text{Vậy với độ tin cậy 97%, trọng lượng trung bình tối đa}\\
\text{của các sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 27,8668 kg}
\end{array}\)