a)

Có: $\begin{cases}CA=CB\\QA=QB\end{cases}$

$\Rightarrow CQ$ là đường trung trực của $AB$

$\Rightarrow CQ\bot AB$

Có $\Delta ABF$ nội tiếp $\left( Q \right)$ với $BF$ đường kính

$\Rightarrow AB\bot AF$

$\Rightarrow CQ//AF$

$\Rightarrow AFQC$ là hình thang

b)

$N$ là trung điểm dây cung $EF$

$\Rightarrow ON\bot EF$

Ta có: $\Delta ACQ$ ; $\Delta BCQ$ ; $\Delta NCQ$ lần lượt vuông tại $A$ ; $B$ ; $N$

$\Rightarrow Q,A,B,C,N$ cùng thuộc một đường tròn với đường kính $CQ$

c)

$CQ$ là đường trung trực của $AB$ với $I\in CQ$

$\Rightarrow I$ là điểm chính giữa $\overset\frown{AB}$ và $CI$ là phân giác $\widehat{ACB}$

$\Rightarrow \overset\frown{AI}=\overset\frown{BI}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\overset\frown{AI}=\dfrac{1}{2}\overset\frown{BI}$

$\Rightarrow \widehat{CAI}=\widehat{BAI}$

$\Rightarrow AI$ là phân giác $\widehat{CAB}$

Vậy $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

$\Rightarrow I$ cách đều ba cạnh $\Delta ABC$

d)

$D=AB\cap QC$ nên $AB\bot CQ$ tại $D$

Xét $\Delta CAE$ và $\Delta CFA$, ta có:

$\widehat{ACF}$ chung ; $\widehat{CAE}=\widehat{CFA}$

$\Rightarrow \Delta CAE\backsim\Delta CFA\left( g.g \right)\Rightarrow C{{A}^{2}}=CE.CF$

Mà $C{{A}^{2}}=CD.CQ$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow CE.CF=CD.CQ$

$\Rightarrow \Delta CED\backsim\Delta CQF\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{CDE}=\widehat{CFQ}$   $\left( 1 \right)$

Hệ thức lượng: $Q{{A}^{2}}=QD.QC$

$\Rightarrow Q{{F}^{2}}=QD.QC$

$\Rightarrow \Delta QFD\backsim\Delta QCF\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{QDF}=\widehat{CFQ}$  $\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \widehat{CDE}=\widehat{QDF}$

Mà $\begin{cases}\widehat{CDE}+\widehat{ADE}=90{}^\circ\\\widehat{QDF}+\widehat{ADF}=90{}^\circ\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{ADF}$

$\Rightarrow DA$ là tia phân giác $\widehat{FDE}$

Có $DA\bot DC$ nên $DC$ là phân giác ngoài $\widehat{FDE}$

$\Rightarrow \dfrac{KE}{FK}=\dfrac{EC}{FC}\Rightarrow KE.FC=FK.EC$

f)

Hệ thức lượng: $Q{{F}^{2}}=QN.QM$

Ở trên đã có: $Q{{F}^{2}}=QD.QC$

$\Rightarrow QN.QM=QD.QC$

$\Rightarrow \Delta QNC\backsim\Delta QDM\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{QNC}=\widehat{QNM}=90{}^\circ $

$\Rightarrow QD\bot MB$

Mà $QD\bot AB$

$\Rightarrow MB\equiv AB\Rightarrow M,A,B$ thẳng hàng

$\Rightarrow M$ nằm trên $AB$