Giả sử `Δ ABC` có hai đường trung tuyến `BE` và `C`F vuông góc với nhau, `AD` là đường trung tuyến thứ ba. Ta cần chứng minh `AD^2 = BE^2 + CF^2`

Trên tia đối của tia `EF` lấy điểm `K` sao cho `EF = FK`

Tứ giác `AKCF` có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm `E` của mỗi đường

`=>` `AKCF` là hình bình hành

`=> AK`$//$`FC. `

Mà `FC ⊥ BE`

`=> BE ⊥ AK`

Ta có: `F` là trung điểm của `AB, E` là trung điểm của `AC`

`=>EF` là đường trung bình của `ΔABC`

`=> EF =  1/2 BC ` và `EF`$//$`BC` hay `EK`$//$`BD (1)`

mà `BD = 1/2 BC` (gt) `=>` `EF = BD => EK = BD (2)`

`(1)(2) ->` `EKDB` là hình bình hành.

`=> EB` $//$ `DK`

mà `BE ⊥ AK`

`=> DK ⊥ AK`

`=> ΔAKD` vuông tại `K `

`=> AK^2 + KD^2 = AD^2` (theo định lý Py-ta-go)

mà ta có: `AK = FC` (do `AKCF` là hình bình hành); `KD = BE` (do `EKDB` là hình bình hành) 

`=>` `AD^2 = BE^2 + CF^2` (đpcm)

Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BE và CF vuông góc với nhau, AD là đường trung tuyến thứ ba. Ta cần chứng minh AD^2 = BE^2 + CF^2

Trên tia đối của tia EF lấy điểm K sao cho EF = FK

Tứ giác AKCF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường nên AKCF là hình bình hành => AK//FC. Mà FC⊥BE nên BE⊥AK (*)

Ta có: F là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC nên EF là đường trung bình củaΔABC => EF =  1/2BC và EF//BC hay EK//BD (1)

Mà BD = 1/2BC (gt) nên EF = BD => EK = BD (do EF = EK theo cách chọn điểm phụ)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra EKDB là hình bình hành => EB // DK (**)

Từ (*) và (**) suy ra DK ⊥AK => ΔAKD vuông tại K => AK^2 + KD^2 = AD^2 (theo định lý Py-ta-go)

Mà AK = FC (do AKCF là hình bình hành) và KD = BE (do EKDB là hình bình hành) nên AD^2 = BE^2 + CF^2 (đpcm)