Đáp án:

$m\in [-2;0]$ 

Giải thích các bước giải:

$\quad \sin^4x +\cos^4x - \cos2x + \dfrac14\sin^22x + m = 0$

$\Leftrightarrow (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x - \cos2x + \dfrac14\sin^22x + m=0$

$\Leftrightarrow 1 - \dfrac12\sin^22x - \cos2x + \dfrac14\sin^22x + m=0$

$\Leftrightarrow -\sin^22x - 4\cos2x  +4m + 4 =0$

$\Leftrightarrow \cos^22x - 4\cos2x + 4m + 3 =0\qquad (1)$

Đặt $t = \cos2x,\ \ t\in [-1;1]$

Phương trình trở thành:

$\quad t^2 - 4t + 4m + 3= 0\qquad (2)$

$(1)$ có nghiệm $\Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thuộc $[-1;1]$

$\bullet\quad (2)$ có `2` nghiệm thuộc $[-1;1]$

$\Leftrightarrow -1 \leqslant t_1 < t_2 \leqslant 1$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{(2)}' > 0\\1.f(-1) \geqslant 0\\1.f(1) \geqslant 0\\-1 \leqslant \dfrac{S}{2} \leqslant 1\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}-4m + 1>0\\ 4m + 8\geqslant 0\\4m \geqslant 0\\-1 \leqslant 2 \leqslant 1\end{cases}$ (vô nghiệm)

$\bullet\quad (2)$ có `1` nghiệm thuộc $[-1;1]$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-1 \leqslant t_1 \leqslant 1 \leqslant t_2\\t_1 \leqslant -1 \leqslant t_2 \leqslant 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow f(-1).f(1) \leqslant 0$

$\Leftrightarrow 4m(4m + 8) \leqslant 0$

$\Leftrightarrow -2 \leqslant m \leqslant 0$

Vậy $m\in [-2;0]$