Câu 15

Áp dụng công thức sinh tổng ta có

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} (\sin(\dfrac{3x}{2}) + \cos(\dfrac{3x}{2})) = 3 . \dfrac{1}{\sqrt{2}} (\sin(\dfrac{x}{2}) - \cos(\dfrac{x}{2}))$

Đặt $t = 2x$, khi đó, ptrinh trở thành

$\sin(3t) + \cos(3t) = 3\sin t - 3\cos t$

Áp dụng công thức nhân 3 ta có

$3\sin t - 4\sin^3t + 4\cos^3t - 3\cos t = 3\sin t - 3\cos t$

$ \cos^3t - \sin^3t = 0$

$ \sin t = \cos t$

$ \tan t = 1$

$ t = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$

$ 2x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$

$ x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$

Câu 17

Áp dụng công thức hạ bậc ta có

$1 + 1 + \cos(\dfrac{6x}{5}) = 3\cos(\dfrac{4x}{5})$

Đặt $t = \dfrac{2x}{5}$. Ptrinh trở thành

$2 + \cos(3t) = 3\cos(2t)$

$ 2 + 4\cos^3t - 3\cos t = 3(2\cos^2t - 1)$

$ 4\cos^3t - 6\cos^2t - 3\cos t + 5 = 0$

$ (\cos t - 1)(4\cos^2t -2\cos t-5) = 0$

Ptrinh có 3 ngiệm là $\cos t = 1$, $\cos t = \dfrac{1 - \sqrt{21}}{4}$, và $\cos t = \dfrac{1 + \sqrt{21}}{4}$ (loại do lớn hơn 1).

Vậy $t = 2k\pi$ hoặc $t = \pm \arccos (\dfrac{1 - \sqrt{21}}{4}) + 2k\pi$

Tương đương vs

$x = 5k\pi$ hoặc $t = \pm \dfrac{5}{2} \arccos \dfrac{1 - \sqrt{21}}{4} + 5k\pi$.