`ABCD` là hình bình hành 

`=>\vec{CD}=\vec{BA}`

`\qquad \vec{BC}=\vec{AD}`

`M;N` lần lượt là trung điểm `BC;AD`

`=>\vec{MC}=1/ 2 \vec{BC}=1/ 2 \vec{AD}=\vec{AN}=\vec{ND}`

$\\$

`a)` `\vec{NC}+\vec{MC}`

`=\vec{NC}+\vec{AN}`

`=\vec{AN}+\vec{NC}=\vec{AC}`

Vậy `\vec{NC}+\vec{MC}=\vec{AC}`

$\\$

`b)` `\vec{AM}+\vec{CD}`

`=\vec{AM}+\vec{BA}`

`=\vec{BA}+\vec{AM}=\vec{BM}`

Vậy `\vec{AM}+\vec{CD}=\vec{BM}`

$\\$

`c)` `\vec{AM}+\vec{AN}`

`=\vec{AM}+\vec{MC}=\vec{AC}`

Vậy: `\vec{AM}+\vec{AN}=\vec{AC}`

Đáp án:

$a.$ Vì $ABCD$ là hình bình hành ⇒ $BC // AD , BC = AD$

Mà $\vec{BC} , \vec{AD}$ cùng phương, cùng hướng

⇒ $\vec{BC} = \vec{AD}$

M, N là trung điểm của BC, AD

⇒ $MC = \frac{1}{2}BC , ND = \frac{1}{2}AD$

⇒ $MC = ND = \frac{1}{2}AD$ ( do $BC = AD$ )

Mà $\vec{MC} , \vec{ND} , \vec{AD}$ cùng phương, cùng hướng

⇒ $\vec{MC} = \vec{ND} = \frac{1}{2}\vec{AD}$

Ta có : $\vec{NC} + \vec{MC} = \vec{ND} + \vec{DC} + \vec{MC}$

⇔ $\vec{NC} + \vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AD} + \vec{DC}$

⇔ $\vec{NC} + \vec{MC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$

$b.$ Ta có : $\vec{AM} + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CM} + \vec{CN} + \vec{ND}$

⇔ $\vec{AM} + \vec{CD} = \vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AD} - ( \vec{MC} + \vec{NC} )$

⇔ $\vec{AM} + \vec{CD} = \vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AC}$

⇔ $\vec{AM} + \vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{AD}$

$c.$ Ta có : $\vec{AM} + \vec{AN} = \vec{AC} + \vec{CM} + \vec{AC} + \vec{CN}$

⇔ $\vec{AM} + \vec{AN} = 2\vec{AC} - ( \vec{MC} + \vec{NC} )$

⇔ $\vec{AM} + \vec{AN} = 2\vec{AC} - \vec{AC}$

⇔ $\vec{AM} + \vec{AN} = \vec{AC}$