a)

Gọi $E=BC\cap MN$

$\Rightarrow $ Khoảng cách từ $I$ đến $BC$ là $IE$

Kẻ $AH\bot BC\Rightarrow H$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow BH=3cm\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=4cm$

Có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Mà: $\begin{cases}\widehat{ABC}+\widehat{BME}=90{}^\circ\\\widehat{ACB}+\widehat{ANM}=90{}^\circ\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{BME}=\widehat{ANM}$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ANM}$

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại $A$

Có $AI$ trung tuyến nên cũng là đường cao

$\Rightarrow AI\bot NE$

$\Rightarrow AHEI$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow IE=AH=4cm$

Vậy khoảng cách từ $I$ đến $BC$ là $IE=4cm$

b)

Vì $AHEI$ là hình chữ nhật nên $AI//BC$

Mà do $A,B,C$ cố định

Vậy $I$ luôn di động trên một đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$