$\\$

`a,`

`\triangle ABD` có :

$\begin{cases} \text{Q là trung điểm của AD (gt)}\\\text{M là trung điểm của AB (gt)}\end{cases}$

`=>QM` là đường trung bình của `\triangle ABD`

`=>` $\begin{cases} QM//BD\\QM=\dfrac{1}{2}BD\end{cases}$

`\triangle BCD` có :

$\begin{cases} \text{N là trung điểm của BC (gt)}\\\text{P là trung điểm của CD (gt)}\end{cases}$

`=>NP` là đường trung bình của `\triangle ABD`

`=>` $\begin{cases} NP//BD\\NP=\dfrac{1}{2}BD \end{cases}$

$\begin{cases} QM//BD\\NP//BD \end{cases}$ (cmt)

`=>` $QM//NP$

$\begin{cases} QM=\dfrac{1}{2}BD\\NP=\dfrac{1}{2}BD\end{cases}$ (cmt)

`=>QM=NP`

Tứ giác `MNPQ` có : $\begin{cases} QM=NP\\QM//NP \end{cases}$ (cmt)

`<=>MNPQ` là hình bình hành

`I` là giao của `MP,QN (1)`

`=>I` là trung điểm của `MP,QN`

`\triangle ABC` có : $\begin{cases} \text{M là trung điểm của AB (gt)}\\\text{R là trung điểm của AC (gt)}\end{cases}$

`=>MR` là đường trung bình của `\triangle ABC`

`=>` $\begin{cases} MR//BC\\MR=\dfrac{1}{2}B C \end{cases}$

`\triangle BCD` có : $\begin{cases} \text{S là trung điểm của BD (gt)}\\\text{P là trung điểm của CD (gt)} \end{cases}$

`=>SP` là đường trung bình của `\triangle BCD`

`=>` $\begin{cases} SP//BC\\SP=\dfrac{1}{2}BC \end{cases}$

$\begin{cases} MR//BC\\SP//BC \end{cases}$ (cmt)

`=>` $MR//SP$

$\begin{cases} MR=\dfrac{1}{2}BC\\SP=\dfrac{1}{2}BC \end{cases}$ (cmt)

`=>` $MR=SP$

Tứ giác `MRPS` có : $\begin{cases} MR//SP\\MR=SP \end{cases}$ (cmt)

`<=>MRPS` là hình bình hành

Mà  `I` là trung điểm của `MP` (cmt)

`=>I` là trung điểm của `RS`

`=> RS` đi qua `I(2)`

`(1)(2)=>MP,NQ,RS` đồng quy tại `I`

`b,`

Gọi `E` là trung điểm của `A'C`

$\triangle AA'C$ có : $\begin{cases} \text{E là trung điểm của A'C (cách gọi)}\\\text{R là trung điểm của AC (gt)}\end{cases}$

`=>RE` là đường trung bình của $\triangle AA'C$

`=>` $\begin{cases} RE//AA'\\RE=\dfrac{1}{2}AA'\end{cases}$

`A'` là trọng tâm của `\triangle BCD` (gt)

`=> SA'=1/2 A'C` mà `A'E=1/2 A'C` (Cách gọi)

`=>SA'=A'E` mà `S,A',E` thẳng hàng

`=>A'` là trung điểm của `SE`

`\triangle SRE` có : $\begin{cases} \text{A' là trung điểm của SE (cmt)}\\\text{I là trung điểm của SR (cmt)}\end{cases}$

`=>A'I` là đường trung bình của `\triangle SRE`

`=>` $\begin{cases} A'I//RE\\A'I=\dfrac{1}{2}RE\end{cases}$

$\begin{cases} A'I//RE\\AA'//RE\end{cases}$ (cmt)

`=>`$A'I≡AA'$

`=> A,I,A'` thẳng hàng hay `AI` đi qua trọng tâm `A'` của `\triangle BCD`

$RE=\dfrac{1}{2} AA', A'I =\dfrac{1}{2} RE$ (cmt)

`=>` $\dfrac{1}{2} RE=\dfrac{1}{4}AA'$

`=>` $A'I= \dfrac{1}{4} AA'$

`=>` $4A'I = AA'$

`IA+A'I` $=AA'$

`=>` $IA+ A'I=4A'I$

`=> IA=3A'I`

`c,`

Chứng minh tương tự như câu `b,` ta được :

$\begin{cases} \text{DD' đi qua I}\\\text{CC' đi qua I}\\\text{BB' đi qua I}\\ID'=\dfrac{1}{4}DD'\\IC'=\dfrac{1}{4}CC'\\IB'=\dfrac{1}{4}BB' \end{cases}$

$\begin{cases} \text{AA' đi qua I (cmt)}\\\text{BB' đi qua I (cmt)}\\\text{CC' đi qua I (cmt)}\\\text{DD' đi qua I (cmt)} \end{cases}$

`=>` $AA',BB',CC',DD'$ cắt nhau tại `I` (*)

$\begin{cases} IA'=\dfrac{1}{4}AA'(cmt)\\IB'=\dfrac{1}{4}BB'(cmt)\\IC'=\dfrac{1}{4}CC'\\ID'=\dfrac{1}{4}DD' \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} \dfrac{IA'}{AA'}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{IB'}{BB'}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{IC'}{CC'}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{ID'}{DD'}=\dfrac{1}{4} \end{cases}$

`=>` $\dfrac{IA'}{AA'}=\dfrac{IB'}{BB'}=\dfrac{IC'}{CC'}=\dfrac{ID'}{DD'}=\dfrac{1}{4}$

`=>I` chia đoạn $AA',BB',CC',DD'$ theo cùng 1 tỉ số (**)
(*)(**) `=>` Điều phải chứng minh.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 c/

Gọi E,F lần lượt là trung điểm của cạnh BD;AC; H trung điểm CA′ và I là giao điểm của EFvà AA′
Xét tam giác CA′A Có FH là đường trung bình nên AA′//FH ⇒A′I//FH
Xét tam giác EHF có A′I//FH và A′ trung điểm EH nên suy ra I trung điểm EF
Suy ra AA′ đi qua trung điểm I của EF cố định.
Chứng minh tương tự ta cũng có BB′;CC′;DD′ đi qua I
Vậy 4 đoạn thẳng AA′;BB′;CC′;DD′ đồng quy tại một điểm