Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi $M$ là giao điểm của $AC ∩ BD$

⇒ $M$ là trung điểm $AC , BD$

Áp dụng pitago trong ΔABC vuông tại B

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$

⇔ $AC^{2} = 4^{2} + 3^{2}$

⇔ $AC^{2} = 25$

⇒ $AC = 5 = BD$

Vì $AM$ là đường trung tuyến ΔABD

⇒ $2\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Vì $AI$ là đường trung tuyến ΔABC

⇒ $2\vec{AI} = \vec{AB} + \vec{AC}$

$a. | \vec{AD} + \vec{AB} |$

$= | 2\vec{AM} |$

$= 2AM$

$= AC$

$= 5$

$b. | \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} |$

$= | ( \vec{AB} + \vec{AD} ) + \vec{AC} |$

$= | 2\vec{AM} + \vec{AC} |$

$= | \vec{AC} + \vec{AC} |$

$= 2AC$

$= 10$

$c. AI^{2} = AB^{2} + BI^{2}$ ( áp dụng pitago trong ΔABI vuông tại B )

⇔ $AI^{2} = 4^{2} + (\frac{BC}{2})^{2}$

⇔ $AI^{2} = 4^{2} + \frac{3^{2}}{4}$

⇔ $AI^{2} = \frac{73}{4}$

⇒ $AI = \frac{\sqrt[]{73}}{2}$

Ta có :

$| \vec{AB} + \vec{AC} |$

$= | 2\vec{AI} |$

$= 2AI$

$= \sqrt[]{73}$

$d. | \vec{AC} + \vec{AI} |$

$= | \vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} |$

$= | \frac{3}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AB} |$

Ta có : 

$| 3\vec{AC} + \vec{AB} |^{2} = 9AC^{2} + 6\vec{AC}.\vec{AB} + AB^{2}$

⇔ $| 3\vec{AC} + \vec{AB} |^{2} = 9.25 + 6.AC.AB.\cos\widehat{BAC} + 4^{2}$

⇔ $| 3\vec{AC} + \vec{AB} |^{2} = 225 + 6.AC.AB.\frac{AB}{AC} + 16$

⇔ $| 3\vec{AC} + \vec{AB} |^{2} = 225 + 6.4.4 + 16$

⇔ $| 3\vec{AC} + \vec{AB} |^{2} = 337$

⇒ $| 3\vec{AC} + \vec{AB} | = \sqrt[]{337}$

⇒ $| \vec{AC} + \vec{AI} | = \frac{\sqrt[]{337}}{2}$