a) Ta có: M là trung điểm của BC(gt)

nên BM=CM=BC2=62=3cmBM=CM=BC2=62=3cm

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(M là trung điểm của BC)

nên AM là đường cao ứng với cạnh đáy BC(Định lí tam giác cân)

⇒AM⊥BC⇒AM⊥BC

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABM vuông tại M, ta được:

AB2=AM2+BM2AB2=AM2+BM2

⇔AM2=AB2−BM2=52−32=16⇔AM2=AB2−BM2=52−32=16

hay AM=4(cm)

Xét ΔABC có AM là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên SABC=AM⋅BC2=4⋅62=242=12cm2SABC=AM⋅BC2=4⋅62=242=12cm2

Vậy: Diện tích tam giác ABC là 12cm²

b) Xét tứ giác AMCN có 

O là trung điểm của đường chéo AC(gt)

O là trung điểm của đường chéo MN(M và N đối xứng nhau qua O)

Do đó: AMCN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AMCN có ˆAMC=900AMC^=900(AM⊥BCAM⊥BC)

nên AMCN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

c) Hình chữ nhật AMCN trở thành hình vuông khi AM=CM

mà CM=BC2CM=BC2(M là trung điểm của BC)

nên AM=BC2AM=BC2

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(M là trung điểm của BC)

AM=BC2AM=BC2(cmt)

Do đó: ΔABC vuông tại A(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

hay ˆBAC=900BAC^=900

Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện ˆBAC=900BAC^=900 thì AMCN là hình vuông