a) Có: ABCD là hình thang vuông có hai đáy AB và CD (gt) nên:

⇒ AB//CD (Tính chất hình thang vuông) hay AB//DE

    Góc BAD = Góc ADC = 90 độ

    Có: E là trung điểm của DC (gt) nên:

⇒ DE = EC = $\frac{DC}{2}$ 

    Mà AB = $\frac{DC}{2}$ (gt)

⇒ DE = EC = AB

    Xét tứ giác ABED, có:

            AB//DE (cmt)

            AB = DE (cmt)

⇒ Tứ giác ABED là hình bình hành (dhnb)

    Xét hình bình hành ABED có:

          Góc BAD = 90 độ (cmt)

⇒ ABED là hình chữ nhật (dhnb)

b) Kẻ đoạn KF

    Xét tam giác HDC, có:

           K là trung điểm của DH (gt)

           F là trung điểm của HC (gt)

⇒ KF là đường trung bình trong tam giác HDC (dhnb)

⇒ KF//DC (Tính chất đường trung bình trong tam giác)

    KF = $\frac{DC}{2}$ (Tính chất đường trung bình trong tam giác)

    Có: KF//DC (cmt)

          AB//CD (cma)

⇒ KF//AB (Quan hệ từ vuông góc đến song song)

    Có: KF = $\frac{DC}{2}$ (cmt)

          AB = $\frac{DC}{2}$ (gt)

⇒ KF = AB

    Xét tứ giác ABFK, có:

         KF = AB (cmt)

         KF//AB (cmt)

⇒ Tứ giác ABFK là hình bình hành (dhnb)

⇒ AK = BF (Tính chất hình bình hành)

c) Có: KF//CD (cmb)

          CD⊥AD tại D (Góc ADC = 90 độ)

⇒ KF⊥AD (Quan hệ từ vuông góc đến song song) ⇒ KF là đường cao của tam giác ADF

    Xét tam giác ADF, có:

            KF là đường cao (cmt)

            DH là đường cao (DH⊥AC hay DH⊥AF(

            KF cắt DH tại K

⇒ K là trực tâm của tam giác ADF

⇒ AK là đường cao

⇒ AK⊥DF

    Mà AK//BF (ABFK là hình bình hành)

⇒ DF⊥BF tại F

⇒ Góc BFD = 90 độ

⇒ Tam giác BFD vuông tại F

    Có: Tam giác BFD vuông tại F

          IF là đường trung tuyến trong tam giác BFD (I là trung điểm của BD)

⇒ IF = $\frac{BD}{2}$ (đpcm)