`a)Xét` `\triangleABD` `có:`

`AE=ED=\frac{1}{2}AD`

`BI=ID=\frac{1}{2}BD`

`=>\text{ EI là đường trung bình của}` `\triangleABD`

`=>EI=\frac{1}{2}AB; EI////AB`

`\text{Chứng minh tương tự:}`

`\text{ EK là đường trung bình của}` `\triangleADC`

`\text{Suy ra:}`

`@EK////DC` `mà` `DC////AB`

`<=>EK////AB`

`@EK=\frac{1}{2}DC`

`\text{ KF là đường trung bình của}` `\triangleABC`

`\text{Suy ra:}`

`@KF=\frac{1}{2}AB`

`@KF////AB`

`Có:`

`EI////AB; EK////AB; KF////AB`

`<=>\text{ E, F, I, K thẳng hàng}`

`b)EI=KF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.6=3(cm)`

`EK=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}.DC=\frac{1}{2}.10=5(cm)`

`Mà` `EK=EI+FK=3+IK`

`<=>IK=2(cm)`

`c)EI=IK=KF`

`=>EI=\frac{1}{2}(EI+IK)=\frac{1}{2}EK`

`Mà` `EI=\frac{1}{2}AB; EK=\frac{1}{2}DC`

`<=>\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}DC`

`<=>AB=\frac{1}{2}DC`

`Vậy` `AB=\frac{1}{2}DC` `thì` `EI=IK=KF`

`a)` Xét `ΔABD` có:

`E` là trung điểm `AD` $(gt)$

`I` là trung điểm `BD` $(gt)$

$⇒EI//AB$ $(t/c)$ `(1)`

Xét hình thang `ABCD` $(AB//CD)$ có:

`E` là trung điểm `AD` $(gt)$

`F` là trung điểm `BC` $(gt)$

$⇒EF//DC$ $(t/c)$

`⇒EI≡EF` `(2)`

Xét `ΔADC` có:

`E` là trung điểm `AD` (gt)

`K` là trung điểm `AC` (gt)

$⇒EK//DC$ `(3)`

Từ `(1), (2), (3)` `⇒` `E, F, I, K` thẳng hàng

`b)` Ta có:

`EF=(AB+CD)/2` `(EF` là đường trung bình của hình thang `ABCD)`

`⇒EF=(6+10)/2 = 8` $(cm)$

Xét `ΔABD` có:

`E` là trung điểm `AD` (gt)

`I` là trung điểm `BD` (gt)

`⇒EI=1/2 AB` (t/c)

Mà `AB=6` $cm$ $(gt)$

`⇒EI = 1/2 . 6`

`⇒EI=3` $(cm)$

Xét `ΔABC` có:

$KF//AB$ `(cmt)`

`F` là trung điểm `BC` $(gt)$

`⇒KF=1/2 AB` (t/c)

`⇒KF=3` $cm$

Ta có: `EI+IK+KF=EF` 

`⇒IK=2` $(cm)$

`c)`  Để `EI=IK=KF`

`⇒EI=1/2 EK`

`⇒AB=1/2 DC`

Vậy `EI=IK=KF` `⇔` `AB=1/2 DC`