Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Nếu O là điểm nằm trong ΔABC

Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ BC, OI ⊥ AC

Vì điểm O cách đều các đường thẳng AB, BC, CA nên: OH = OK = OI

Suy ra O nằm trên tia phân giác của (ACB)

Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong của ΔABC

 Nếu O' nằm ngoài ΔABC

Kẻ O'D ⊥ AB, O'E ⊥ BC, O'F ⊥ AC

Vì O' cách đều ba đường thẳng AB, BC, AC nên: O'D = O'E = O'F

Vì O'D = O'F nên O' nằm trên tia phân giác của (BAC)

Vì O'D = O'E nên O' nằm trên tia phân giác của (DBC)

Suy ra O' là giao điểm phân giác trong của (BAC) và phân giác ngoài tại đỉnh D.

Khi đó A, O, O' thẳng hàng và A, H, D thẳng hàng

Ta có: OH < O'D

Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong ΔABC cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA và ngắn nhất.

  Lấy O ∈ ΔABC

  Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ BC, OI ⊥ AC

  Vì điểm O cách đều các đường thẳng AB, BC, CA 

⇒ OH = OK = OI

⇒ O ∈ tia phân giác của ∠ACB

⇒ O là giao điểm các đường phân giác của ΔABC

 Lấy O' nằm ngoài ΔABC

  Kẻ O'D ⊥ AB, O'E ⊥ BC, O'F ⊥ AC

  Vì O' cách đều ba đường thẳng AB, BC, AC

⇒ O'D = O'E = O'F

Vì O'D = O'F nên O' nằm trên tia phân giác của ∠BAC

    O'D = O'E nên O' nằm trên tia phân giác của ∠DBC

nên O' là giao điểm các đường phân giác của ∠BAC 

⇒ O' là giang điểm của các đường phân giác ngoài tại D.

⇒ A, O, O' thẳng hàng (1)

⇒ A, H, D thẳng hàng (2)

mà OH < O'D (3)

Từ (1),(2),(3) ⇒ O là giao điểm các đường phân giác trong ΔABC cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA và đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.