Đáp án:

a, chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp

Gọi I là trung điểm của DC
Ta có: tam giác DMC vuông tại M
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMC ( R = 1/2 DC)
=> đường tròn ngoại tiếp đi qua 3 điểm D,M,C (1)
tam giác DNC vuông tại N
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNC ( R = 1/2 DC)
=> đường tròn ngoại tiếp đi qua 3 điểm D,N,C (2)
Từ (1) và (2) suy ra: Đường tròn tâm I bán kính 1/2 DC đi qua 4 điểm D,M,N,C
=> CDMN là tứ giác nội tiếp đường tròn.

B.kéo dài BO cắt (O) tại K. chứng minh tứ giác CHDK là hình bình hành

Ta có: góc BCK = 90 độ ( góc nội tiếp chắn bởi đường kính)
BC vuông góc với ND
=> DH // KC (1)
góc BDK = 90 độ ( góc nội tiếp chắn bởi đường kính )
BD vuông góc với MC
=> HC // DK (2)
Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác CHDK là hình bình hành.
( c/m theo hướng xét 2 cặp cạnh đối song song với nhau)

C.Gọi I là giao điểm AH và BC, F là trung điểm của BC.

Vì khi A thay đổi trên BC cố định và ∆ ABC luôn nhọn nên H nằm trong ∆ ABC.

Nên   lớn nhất khi HI lớn nhất (BC cố định).

HI lớn nhất => AI lớn nhất  => I trùng với F.

Mà F là trung điểm của BC nên ∆ ABC cân tại A

=> AB = AC 

=> A nằm chính giữa cung BC.

Giải thích các bước giải: