Gọi `E` là điểm sao cho `\vec(EA) - 2\vec(EB) + 4\vec(EC) = \vec(0)`

       `F` là điểm sao cho `4\vec(FB) - \vec(FC) = \vec(0)`

Ta có: `\vec(EA) - 2\vec(EB) + 4\vec(EC) = \vec(0)`

`Leftrightarrow 3\vec(EG) + \vec(GA) - 2\vec(GB) + 4\vec(GC) = \vec(0)`

`Leftrightarrow 3\vec(EG) +  - 3\vec(GB) + 3\vec(GC) = \vec(0)`

`Leftrightarrow 3\vec(EG)  + 3\vec(BC) = \vec(0)`

`Leftrightarrow \vec(EG)  =  \vec(CB) `

Vì `B,C ,G` cố định `-> E` không đổi

Lại có: `4\vec(FB) - \vec(FC) = \vec(0)`

`Leftrightarrow 3\vec(FB)  +\vec(BC) = \vec(0)`

`Leftrightarrow 3\vec(FB)  = \vec(CB) `

Vì `B,C ` cố định `-> F` không đổi

Do đó: `|\vec(NA) - 2\vec(NB) + 4\vec(NC) | = |4\vec(NB) - \vec(NC)| `

`Leftrightarrow |3\vec(NE) + \vec(EA) - 2\vec(EB) + 4\vec(EC) | = |3\vec(NF) + 4\vec(FB) - \vec(FC) |`

`Leftrightarrow |3\vec(NE)| = |3\vec(NF)|`

`Leftrightarrow  NE = NF`

Vậy: Quỹ tích điểm `N` là đường trung trực `EF`

Giải thích các bước giải:

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Gọi $J$ là điểm thỏa mãn hệ thức: $ 4\overrightarrow{JB}-\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $|\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+4\overrightarrow{NC}|=|4\overrightarrow{NB}-\overrightarrow{NC}|$

$<=>|3\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}|=|3\overrightarrow{NJ}+ 4\overrightarrow{JB}-\overrightarrow{JC}|$

$<=>|3\overrightarrow{NI}|=|3\overrightarrow{NJ}|$

$<=>|\overrightarrow{NI}|=|\overrightarrow{NJ}|$

Vậy quỹ tích điểm $N$ là đường trung trực của $IJ$