Bài 3:

Có: AB : AC = 5 : 6

⇒ $\frac{AB}{5}$ = $\frac{AC}{6}$

⇒ $\frac{AB²}{25}$ = $\frac{AC²}{36}$ = $\frac{AB² + AC²}{25 + 36}$ = $\frac{BC²}{61}$ = $\frac{122²}{61}$ = 244 (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Khi đó: $\frac{AB²}{25}$ = 244 ⇒ AB² = 25.244 = 6100 ⇒ AB = 10$\sqrt{61}$ (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

    AB² = BH.BC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

    (10$\sqrt{61}$)² = BH.122 (Thay số)

    BH = 50 (cm)

Có: BH + HC = BC (Tính chất cộng đoạn thẳng)

       50 + HC = 122 (Thay số)

                HC = 72 (cm)

Bài 4:

Có: AB : AC = 3 : 4

⇒ AB = $\frac{3}{4}$AC

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

    $\frac{1}{AH²}$ = $\frac{1}{AB²}$ + $\frac{1}{AC²}$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇒ $\frac{1}{12²}$ = $\frac{1}{\frac{9}{16}AC²}$ + $\frac{1}{AC²}$ 

    $\frac{1}{144}$ = $\frac{AC² + \frac{9}{16}AC²}{\frac{9}{16}AC^{4}}$ 

    144AC² + 81AC² = $\frac{9}{16}$$AC^{4}$

    225AC²  - $\frac{9}{16}$$AC^{4}$ = 0

    AC²(225 - $\frac{9}{16}$AC²) = 0

TH1: AC² = 0

        AC = 0 (Vô lí)

TH2: 225 - $\frac{9}{16}$AC² = 0

              - $\frac{9}{16}$AC² = -225

               AC² = 400

        ⇒ AC = 20 (cm)

Xét tam giác AHC vuông tại H, có:

     AC² = AH² + HC² (ĐỊnh lý Py-ta-go)

     20² = 12² + HC² (Thay số)

     HC² = 256

⇒ HC = 16 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

    AH² = BH.CH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

    12² = BH.16 (Thay số)

    BH = 9 (cm)