Xét tứ giác AHBE, có:

      BE//AH (gt)

      BH//EA (AE//BC)

⇒ Tứ giác AHBE là hình bình hành (dhnb)

Có: AH là đường cao của tam giác ABC (gt) nên:

⇒ AH⊥BC tại H

⇒ Góc AHB = Góc AHC = 90 độ

Xét hình bình hành AHBE, có:

    Góc BHA = 90 độ (cmt)

⇒ AHBE là hình chữ nhật (dhnb)

Có: AH là đường cao của tam giác ABC vuông cân tại A (gt) nên:

⇒ AH đồng thời là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông cân tại A

⇒ AH = $\frac{BC}{2}$ 

⇒ AH = HB = HC

Xét hình chữ nhật AHBE, có:

    EB = BH (cmt)

⇒ AHBE là hình vuông (dhnb)

Ta có:`AE////BC(g``t)`

          `AH⊥BC(g``t)`

`⇒AH⊥AE`

`⇒hat{HAE}=90^o`

Ta có:`BE////AH(g``t)`

          `AH⊥BC(g``t)`

`⇒BE⊥BC`

`⇒hat{HBE}=90^o`

Ta có:`AH⊥BC(g``t)`

`⇒hat{AHB}=90^o`

Xét tứ giác `AHBE` có:

`hat{AHB}=hat{HAE}=hat{HBE}=90^o`

`⇒` tứ giác `AHBE` là hình chữ nhật `(` tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật `)(1)`

Xét `ΔABC` vuông cân tại `A` có `AH` là đường cao

`⇒AH` đồng thời là đường trung tuyến của `ΔABC`

`⇒AH` là đường trung tuyến ứng với `BC`

`⇒H` là trung điểm của `BC`

`⇒BH=1/2BC(2)`

Xét `ΔABC` vuông cân tại `A` có `AH` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` nên ta có:

                                                         `AH=1/2BC(3)`

Từ `(2)` và `(3)⇒AH=BH(4)`

Từ `(1)` và `(4)⇒AHBE` là hình vuông `(` hình chữ nhật có `2` cạnh kề bằng nhau là hình vuông `)(đpcm)`