Đáp án:

`a)` ` AB=\sqrt{5}cm; AC=2\sqrt{5}cm; BC=5cm;AH=2cm`

`b)` `S_{∆ABC}=5cm^2`

Giải thích các bước giải:

`a)` `BH=1cm;CH=4cm`

`=>BC=BH+CH=1+4=5cm`

$\\$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$

`=>AH^2=BH.CH=1.\ 4=4` 

`=>AH=\sqrt{ 4}=2cm`

$\\$

`\qquad AB^2=BH.BC=1.\ 5=5`

`=>AB=\sqrt{5}cm`

$\\$

`\qquad AC^2=CH.BC=4.\ 5=20`

`=>AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}cm`

Vậy `AB=\sqrt{5}cm; AC=2\sqrt{5}cm; BC=5cm;AH=2cm`

$\\$

`b)` Diện tích $∆ABC$ là:

`\qquad S_{∆ABC}=1/ 2 AH.BC=1/ 2 .2\ . 5=5cm^2`

$\\$

`c)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HM\perp AB$

`=>AH^2=AM.AB`

$\\$

Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HN\perp AC$

`=>AH^2=AN.AC`

$\\$

`=>AM.AB=AN.AC` (đpcm)

Đáp án: a) AB = $\sqrt[]{5}$cm, AC = 4$\sqrt[]{5}$cm, BC = 5cm, AH = 4cm

b) $S_{ABC}$ =5$cm^{2}$

c) AM.AB = AN.AC

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có: BC = BH + CH = 1 + 4 = 5 (cm)

Ta có: $AB^{2}$ = BH.BC

<=> $AB^{2}$ = 1.5 = 5

=> AB = $\sqrt[]{5}$ (cm)

Ta có: $AC^{2}$ = CH.BC

<=> $AC^{2}$ = 4.5 = 20

=> AC = $\sqrt[]{20}$ = 2$\sqrt[]{5}$ (cm)

Ta có: $AH^{2}$ = CH.BH

<=> $AH^{2}$ = 1.4 = 4

=> AH = $\sqrt[]{4}$ = 2 (cm)

Vậy AB = $\sqrt[]{5}$cm, AC = 4$\sqrt[]{5}$cm, BC = 5cm, AH = 4cm

b) Ta có: $S_{ABC}$ = AB . AC / 2 = $\sqrt[]{5}$ . 2$\sqrt[]{5}$ / 2 = 5 ($cm^{2}$)

Vậy $S_{ABC}$ = 5$cm^{2}$

c) Ta có: AM.AB = $AH^{2}$ (1)

Ta có: AN.AC = $AH^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC (đpcm)