a)  Gọi `E(2;3)` là trung điểm của` AB`

            `I(-1; 5)` là trung điểm của `EC `

Ta có: `|\vec(MA) + \vec(MB) + 2\vec(MC) | = |2\vec(ME) + \2vec(MC)| = |4\vec(MI)| = 4MI`

 Để `|\vec(MA) + \vec(MB) + 2\vec(MC) |` nhỏ nhất thì `MI` nhỏ nhất

Mà: `MI \bot  Ox`

Nên `x_I = x_M = -1`

Vậy: `M(-1;0)`

b)

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

`\sqrt(a^2 + b^2) + \sqrt(c^2+d^2)>= \sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)`

Bình phương hai vế, ta có:

`\Leftrightarrow a^2 + b^2 + \c^2+d^2 + 2\sqrt((a^2 + b^2)(c^2+d^2))>= a^2+c^2+b^2+d^2+ 2(ac+bd)`

`\Leftrightarrow \sqrt((a^2 + b^2)(c^2+d^2))>=ac+bd `

`\Leftrightarrow (a^2 + b^2)(c^2+d^2) >= (ac)^2+(bd)^2 + 2abcd `

`\Leftrightarrow (ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 >= (ac)^2+(bd)^2 + 2abcd `

`\Leftrightarrow (ad)^2 + (bc)^2 >=  2abcd `

`\Leftrightarrow (ad- bc)^2 >=0 \forall a, b,c,d \in R` (luôn đúng)

`-> \sqrt(a^2 + b^2) + \sqrt(c^2+d^2)>= \sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)`

Dấu ''='' xảy ra khi `a/b = c/d`

Vì `M` nằm trên `y = 0` nên `M(0 , y)`

Ta có: `{(\vec(BM)(-3;y-5)),(\vec(CM)(4; y-7)):} -> {(BM= \sqrt((-3)^2 +(y-5)^2)),(CM= \sqrt((y-7)^2 +(4)^2)):}`

`-> MB + MC = \sqrt((-3)^2 + (y-5)^2) + \sqrt((4)^2 +(y-7)^2) >= \sqrt( (y-5-y+7)^2+(-3+4)^2)= \sqrt(5) `

`->` GTNN của `MB + MC` bằng `\sqrt(5)`

Dấu ''='' xảy ra khi : `(-3)/(y-5)=(4)/(y-7) -> y = 41/7 `

Vậy: `M(0; 41/7)`

c) Do `|MB- MC| <= 0`

`-> |MB- MC|_max = 0`

Dấu ''='' xảy ra khi: M, B, C thẳng hàng

`-> \vec(MC), \vec(MB)` cùng phương 

`-> (-3)/(y-5)=(4)/(y-7) -> y = 41/7 `

Vậy: `M(0; 41/7)`

d) Gọi `I` sao cho `\vec(IA) + 2\vec(IB) + 3\vec(IC) = \vec(0) -> I(-5/6; 16/3)`

Ta có: `|\vec(MA) + 2\vec(MB) + 3\vec(MC) | = |6MI|`

 Để `|\vec(MA) + 2\vec(MB) + 3\vec(MC) |` nhỏ nhất thì `MI` nhỏ nhất

Mà: `MI \bot  Ox`

Nên `x_I = x_M = -5/6`

Vậy: `M(-5/6;0)`

Đáp án:

a) $M\left( -1;0 \right)$

b) $M\left( 0;\dfrac{41}{7} \right)$

c) $M\left( 0;\dfrac{41}{7} \right)$

d) $M\left( -\dfrac{5}{6};0 \right)$

Giải thích các bước giải:

a)

$M\in \left( Ox \right)\Rightarrow M\left( x;0 \right)$

Chọn $I$ sao cho $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Tìm được $I\left( -1;5 \right)$

Có: $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|=\left| 4\overrightarrow{MI} \right|=4MI$

$MI$ nhỏ nhất khi $MI\bot \left( Ox \right)$

$\Rightarrow M\left( -1;0 \right)$

b)

$M\in \left( Oy \right)\Rightarrow M\left( 0;y \right)$

$B$ có hoành độ dương, $C$ có hoành độ âm

Nên $B,C$ nằm trái phía so với trục tung

Nên $MB+MC\ge BC$

Dấu “=” xảy ra khi $M,B,C$ thẳng hàng

$M$ là giao điểm giữa trục tung và đường thẳng $BC$

Trục tung có phương trình $x=0$

Đường thẳng $BC$ có phương trình $2x+7y=41$

Giải hệ phương trình tìm được $M\left( 0;\dfrac{41}{7} \right)$

c)

Hoàn toàn tương tự câu b

$\left| MB-MC \right|\le BC$

Dấu “=” xảy ra khi $M,B,C$ thẳng hàng

 $M\left( 0;\dfrac{41}{7} \right)$

d)

$M\in \left( Ox \right)\Rightarrow M\left( x;0 \right)$

Gọi $I$ sao cho $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Tìm được $I\left( -\dfrac{5}{6};\dfrac{16}{3} \right)$

Có $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|=\left| 6\overrightarrow{MI} \right|=6MI$

$MI$ nhỏ nhất khi $MI\bot \left( Ox \right)$

$\Rightarrow M\left( -\dfrac{5}{6};0 \right)$