`a)` Vì $AB;AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$

`=>AB=AC`

Mà `OB=OC=R`

`=>AO` là đường trung trực của $BC$

Vì $H$ là trung điểm $BC$ (gt)

`=>AO`$\perp BC$ tại $H$

`=>H\in AO`

`=>A;H;O` thẳng hàng (đpcm)

$\\$

Gọi $I$ là trung điểm $AO$

`=>BI;CI` lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông $∆ABO; ∆ACO$

`=>BI=AI=OI={AO}/2=CI`

`=>A;B;C;O` cùng thuộc đường tròn tâm $I$ đường kính $AO$

$\\$

`b)` $BD$ là đường kính của `(O;R)`

`=>BD=2R` và `O` là trung điểm $BD$

`=>CO` là trung tuyến $∆BCD$

Vì `CO=R=1/ 2 BD`

`=>∆BCD` vuông tại $C$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)

`=>CD`$\perp BC$

Mà $AO\perp BC$ (câu a)

`=>CD`//$AO$

`=>\hat{AOC}=\hat{OCD}` (hai góc so le trong)

$\\$

Ta có: `OC=OD=R`

`=>∆OCD` cân tại $O$

`=>\hat{OCD}=\hat{CDO}`

$\\$

`=>\hat{AOC}=\hat{CDO}=\hat{CDK}`

$\\$

Xét $∆AOC$ và $∆CDK$ có:

`\qquad \hat{ACO}=\hat{AKD}=90°`

`\qquad \hat{AOC}=\hat{CDK}` (c/m trên)

`=>∆AOC∽∆CDK` (g-g)

`=>{AO}/{CD}={AC}/{CK}`

`=>AC.CD=CK.AO` (đpcm)