a) Xét tam giác ABC, có:

         M là trung điểm của BC (gt)

         N là trung điểm của AC (gt)

⇒ MN là đường trung bình trong tam giác ABC (dhnb)

⇒ MN//AB (Tính chất đường trung bình trong tam giác) hay NM//BP

    Xét tam giác ABC, có: 

         P là trung điểm của AB (gt)

         N là trung điểm của AC (gt)

⇒ PN là đường trung bình trong tam giác ABC (dhnb)

⇒ PN//BC (Tính chất đường trung bình trong tam giác) hay PN//BM hay PN//MC

    Xét tam giác ABC, có:

          P là trung điểm của AB (gt)

          M là trung điểm của BC (gt)

⇒ PM là đường trung bình trong tam giác ABC (dhnb)

⇒ PM//AC (Tính chất đường trung bình trong tam giác) hay PM//NC

    Xét tứ giác PNMB, có:

           PN//BM (cmt)

           NM//BP (cmt)

⇒ Tứ giác PNMB là hình bình hành (dhnb)

    Xét tứ giác PNCM, có:

         PN//MC (cmt)

         PM//NC (cmt)

⇒ Tứ giác PNCM là hình bình hành (dhnb)

b) Có: PM//AC (cma) hay PM//AN

          MN//AB (cma) hay MN//PA

    Có: Tam giác ABC vuông tại A (gt) nên ⇒ Góc BAC = 90 độ (Tính chất tam giác vuông)

                                                                                hay góc PAN = 90 độ

    Xét tứ giác APMN, có:

        PM//AN (cmt)

        MN//PA (cmt)

⇒ Tứ giác APMN là hình bình hành (dhnb)

    Xét hình bình hành APMN, có:

        Góc PAN = 90 độ (cmt)

⇒ Hình bình hành APMN là hình vuông (dhnb)

c) Có: PN//BC (cma) hay PN//HM

    Có: AH là đường cao (gt) nên:

⇒ AH ⊥ BC tại H

⇒ Góc AHB = Góc AHC = 90 độ 

⇒ Tam giác AHB vuông tại H

    Có: P là trung điểm của AB (gt) nên:

⇒ PH là đường trung tuyến trong tam giác ABH 

  Mà tam giác AHB vuông tại H (cmt)

⇒ PH = $\frac{1}{2}$AB 

    Mà PA = $\frac{1}{2}$AB (P là trung điểm của AB)

⇒ PH = PA

    Có: PH = PA (cmt)

          Mà PA = MN (APMN là hình chữ nhật - cmb)

⇒ PH = MN

    Xét tứ giác PHMN, có:

           PN//HM (cmt)

⇒ Tứ gác PHMN là hình thang (dhnb)

    Xét hình thang PHMN, có:

         PH = MN (cmt)

⇒ PHMN là hình thang cân (dhnb)

`a)`

xét `ΔABC` có

`BP=PA (g t)`

`AN=NC(g t)`

`=>PN` là đường trung bình của `ΔABC`

do đó `PN`//`BC;PN=1/2BC`

mà `BM=1/2 BC`

`=>BM=PN`

xét tứ giác `PNMB` có

`PN`//`BM`

`PN=BM`

`=>PNMB` là hình bình hành 

ta có `PN=1/2 BC`

mà `MC=1/2BC`

`=>MN=PN`

xét tứ giác `PNCM` có

`PN`//`MC`

`PN=MC`

`=>PNCM` là hình bình hành

`b)`

xét `ΔABC` có

`BM=MC(g t)`

`AN=NC(g t)`

`=>MN` là đường trung bình của `ΔABC`

do đó `MN`//`AB;MN=1/2 AB`

mà `AP=1/2 AB`

`=>MN=AP`

xét tứ giác `APMN` có

`MN`//`AP`

`MN=AP`

`=>APMN` là hình bình hành

mà `hat(PAN)=90^o`

`=>APMN` là hình chữ nhật

`c)`

ta có `H,M∈BC`

mà `BC`//`PN`

`=>HM`//`PN`

do đó tứ giác `PHMN` là hình thang `(1)`

xét `ΔABH` vuông tại `H`  ta có

`PH` là đường trung tuyến

`=>PH=1/2 AB`

mà `MN=1/2 AB (MN` là đường trung bình của `ΔABC)`

`=>PH=MN(2)`

từ `(1);(2)` suy ra `PHMN` là hình thang cân