Đáp án:

`a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)` không phải là số nguyên.

Giải thích các bước giải:

Cách chứng minh bài toán: Chứng minh lớn hơn `1` và nhỏ hơn `2.`

                      Bài giải:

Vì `a,b,c` là số nguyên dương nên

Ta có:

`a/(a+b) > a/(a+b+c)`

`b/(b+c) > b/(a+b+c)`

`c/(c+a) > c/(a+b+c)`

Suy ra `a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) > a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1.`

`=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) > 1.` `(1)`

Lại có:

`a/(a+b)<1 => a/(a+b)<(a+c)/(a+b+c).`

`b/(b+c)<1 => b/(b+c)<(a+b)/(a+b+c).`

`c/(c+a)<1 => c/(c+a)<(b+c)/(a+b+c).`

`=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < (a+c)/(a+b+c)+(a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(a+b+c)=(a+b+c+a+b+c)/(a+b+c)=(2\times(a+b+c))/(a+b+c)=2.`

`=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < 2.`             `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `1 < a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < 2.`

`=>` `a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)` không phải là số nguyên.

Vậy `a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)` không phải là số nguyên.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

ta cần chứng minh nó lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2

Do a;b;c và d là các số nguyên dương => 
a + b + c < a + b + c + d 
a + b + d < a + b + c + d 
a + c + d < a + b + c + d 
b + c + d < a + b + c + d 
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1) 
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2) 
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3) 
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4) 
Từ (1);(2);(3) và (4) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1 
=> B > 1 (*) 

Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad 
= bd + cd 
Do a;b;c và d là số nguyên dương 
=> bd + cd > 0 
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0 
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d) 
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5) 
Chứng minh tương tự ta được: 
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6) 
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7) 
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8) 
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được: 
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) 
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B 
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B 
=> 2 > B (*)(*) 
Từ (*) và (*)(*) 
=> 1 < B < 2 
=> B không phải là số nguyên