Đáp án:

 chứng minh

Giải thích các bước giải:

Bài 3 :

$1.$ ΔABC cân tại A ⇒ $AB = AC , \widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

Xét ΔABN và ΔACM có :

+) $AB = AC$

+) $\widehat{A}$ chung

+) $AN = AM$

⇒ ΔABN = ΔACM ( c.g.c )

$2.$ Vì $AM = AN ⇒ ΔAMN$ cân tại A

⇒ $\widehat{AMN} = \widehat{ANM}$

Ta có : $\widehat{AMN} + \widehat{ANM} + \widehat{MAN} = 180^0$ $( ΔAMN )$

⇔ $2\widehat{AMN} + \widehat{MAN} = 180^0$

⇔ $2\widehat{AMN} = 180^0 - \widehat{MAN}$

hay $2\widehat{AMN} = 180^0 - \widehat{BAC}$

Lại có : $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} + \widehat{BAC} = 180^0$ $( ΔABC )$

⇔ $2\widehat{ABC} + \widehat{BAC} = 180^0$

⇔ $2\widehat{ABC} = 180^0 - \widehat{BAC}$

⇔ $2\widehat{ABC} = 2\widehat{AMN}$

⇔ $\widehat{ABC} = \widehat{AMN}$

Mà 2 góc ở vị trí đồng vị

⇒ $MN // BC$

$3.$ Vì ΔABN = ΔACM ( chứng minh câu a )

⇒ $\widehat{ABN} = \widehat{ACM}$

hay $\widehat{MBO} = \widehat{NCO}$

Ta có : $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

⇔ $\widehat{MBO} + \widehat{OBC} = \widehat{NCO} + \widehat{OCB}$

⇔ $\widehat{OBC} = \widehat{OCB}$

⇒ $ΔOBC$ cân tại O

⇒ $OB = OC$

Xét ΔBOM và ΔCON có :

+) $\widehat{MBO} = \widehat{NCO}$ ( chứng minh trên )

+) $OB = OC$ ( chứng minh trên )

+) $\widehat{BOM} = \widehat{CON}$ ( 2 góc đối đỉnh )

⇒ ΔBOM = ΔCON ( g.c.g )

Bài 4 :

$1.$ ΔABC cân tại A ⇒ $AB = AC , \widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

Ta có : $\left \{ {{AB=AC} \atop {BE=CF}} \right.$ 

⇒ $AB + BE = AC + CF$

⇔ $AE = AF$

$2.$ Xét ΔACE và ΔABF có :

+) $AE = AF$ ( chứng minh câu a )

+) $\widehat{A}$ chung

+) $AC = AB$

⇒ ΔACE = ΔABF ( c.g.c )

$3.$ Vì $AE = AF ⇒ ΔAEF$ cân tại $A$

⇒ $\widehat{AEF} = \widehat{AFE}$

Ta có : $\widehat{AEF} + \widehat{AFE} + \widehat{A} = 180^0$ $( ΔAEF )$

⇔ $2\widehat{AEF} + \widehat{A} = 180^0$

⇔ $2\widehat{AEF} = 180^0 - \widehat{A}$

Lại có : $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} + \widehat{A} = 180^0$ $( ΔABC )$

⇔ $2\widehat{ABC} + \widehat{A} = 180^0$

⇔ $2\widehat{ABC} = 180^0 - \widehat{A}$

⇔ $2\widehat{ABC} = 2\widehat{AEF}$

⇔ $\widehat{ABC} = \widehat{AEF}$

Mà 2 góc ở vị trí đồng vị

⇒ $BC // EF$