Tứ giác $AIOE$ có  $OI//AE$ ; $\widehat{IAE}=\widehat{OEA}=60{}^\circ $

$\Rightarrow AIOE$ là hình thang cân $\Rightarrow OA=IE$

Tương tự:

$BEOK$ là hình thang cân $\Rightarrow OB=EK$

$CKOI$ là hình thang cân $\Rightarrow OC=KI$

$\Rightarrow OA+OB+OC=IE+EK+KI$

$\Rightarrow OA+OB+OC=$ Chu vi $\Delta EIK$

$\\$

Do $OI//AB$ (gt)

$→ OI//AE$

$→ AIOE$ là hình thang ($OI//AE$)

Do `ΔABC` đều (gt)

`-> hat{A}=hat{B}=hat{C}=60^o`

Do $OE//BC$ (gt)

`->hat{OEA}=hat{B}=60^o` (2 góc đồng vị)

Mà `hat{A}=60^o` (cmt)

`->hat{OEA}=hat{A}=60^o`

Có : `AIOE` là hình thang ($OI//AE$) và `hat{OEA}=hat{A}=60^o` (cmt)

`-> AIOE` là hình thang cân ($OI//AE$)

`-> OA = EI`

$\\$

Do $OK//AC$ (gt)

`-> hat{OKB}=hat{C}=60^o` (2 góc đồng vị)

Mà `hat{B}=60^o` (cmt)

`->hat{OKB}=hat{B}=60^o`

Do $OE//BC$ (gt)

$→ OE//BK$

$→ BEOK$ là hình thang ($OE//BK$)

Có : `BEOK` là hình thang ($OE//BK$) và `hat{B}=hat{OKB}=60^o` (cmt)

`-> BEOK` là hình thang cân ($OE//BK$)

`-> EK = OB`

$\\$

Do $OI//AB$ (gt)

`->hat{OIC}=hat{A}=60^o` (2 góc đồng vị)

Mà `hat{C}=60^o` (cmt)

`->hat{OIC}=hat{C}=60^o`

Do $OK//AC$ (gt)

$→ OK//CI$

$→ OICK$ là hình thang ($OK//CI$)

Có : $OICK$ là hình thang ($OK//CI$) và `hat{OIC}=hat{C}=60^o` (cmt)

`-> OICK` là hình thang cân ($OK//CI$)

`-> KI = OC`

$\\$

Có : `P_{ΔEIK} = EI + EK + KI = OA + OB + OC` (đpcm)