Đáp án:

`a)` `BD=17cm`

`b)`  `AH={120}/{17}; BH={64}/{17}cm`

Giải thích các bước giải:

 `a)` $AB=8cm; BC=15cm$

$ABCD$ là hình chữ nhật 

`=>AD=BC=15cm`

$\\$

Xét $∆ABD$ vuông tại $A$

`=>BD^2=AB^2+AD^2` (định lý Pytago)

`=>BD=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17cm`

$\\$

Vậy `BD=17cm`

$\\$

`b)`

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Xét $∆ABD$ vuông tại $A$ có $AH\perp BD$

`=>1/{AH^2}=1/{AB^2}+1/{AD^2}` (hệ thức lượng)

`=1/{8^2}+1/{15^2}={289}/{14400}`

`=>AH^2={14400}/{289}`

`=>AH=\sqrt{{14400}/{289}}={120}/{17}cm`

$\\$

`\qquad AB^2=BH.BD` `=>BH={AB^2}/{BD}={8^2}/{17}={64}/{17}cm`

$\\$

Vậy `AH={120}/{17}; BH={64}/{17}cm`

a) Có: ABCD là hình chữ nhật (gt) nên:

⇒ AD = BC = 15 cm

    AB = DC = 8 cm (Tính chất hình chữ nhật)

    Góc BAD = 90 độ

    Xét tam giác ABD vuông tại A (Góc BAD = 90 độ) có:

        BD² = AB² + AD² (Định lý Py-ta-go)

        BD² = 8² + 15² (Thay số)

        BD² = 289

⇒ BD = 17 (cm)

b) Có: AH ⊥ BD tại H (gt) nên:

⇒ Góc AHB = Góc AHD = 90 độ

    Xét tam giác HBA và tam giác ABD, có:

        Góc AHB = Góc BAD = 90 độ (cmt)

        Góc ABD chung

⇒ Tam giác HBA ~ Tam giác ABD (g.g)

⇒ $\frac{HB}{AB}$ = $\frac{AB}{BD}$ 

    $\frac{HB}{8}$ = $\frac{8}{17}$ (Thay số)

    BH = $\frac{8.8}{17}$ 

    BH = $\frac{64}{17}$ (cm)

       Xét tam giác ABH vuông tại H (Góc AHB = 90 độ) có:

               AB² = AH² + HB² (Định lý Py-ta-go)

               8² = AH² + ($\frac{64}{17}$)² (Thay số)

               AH² = $\frac{14400}{289}$ 

⇒ AH = $\frac{120}{17}$ (cm)