`a)` Ta có:

`AB` là đường kính của nửa `(O)`

`=>O` là trung điểm $AB$

`=>CO` là trung tuyến $∆CAB$

Vì `CO=OA=OB=1/ 2 AB`

`=>∆CAB` vuông tại $C$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)

`=>BC`$\perp EA$ tại $C$ $(1)$

$\\$

Ta cũng có $DO$ là trung tuyến $∆DAB$

Vì `DO=AO=BO=1/ 2 AB`

`=>∆DAB` vuông tại $D$

`=>AD`$\perp EB$ tại $D$ $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)` và `Q` là giao điểm của $CB$ và $AD$

`=>Q` là trực tâm $∆EAB$

`=>EQ`$\perp AB$ (đpcm)

$\\$

`b)` Gọi $M$ là trung điểm $EQ$

`=>CM;DM` lần lượt là trung tuyến hai tam giác vuông $∆ECQ$ và $∆EDQ$

`=>CM=DM=EM=QM=1/ 2 EQ`

`=>E;C;Q;D` cùng thuộc đường tròn tâm `M` đường kính `EQ` (đpcm)

$\\$

`c)` Gọi $I$ là trung điểm $CD$

`=>OI`$\perp CD$ tại $I$ (tính chất đường kính vuông góc tại trung điểm dây cung)

Xét tứ giác $AHKB$ có:

 $AH$//$OI$//$BK$ (cùng $\perp CD$)

`=>AHKB` là hình thang 

Vì $O$ là trung điểm $AB$ và $OI$//$AH$//$BK$

`=>I`  là trung điểm $HK$ ($OI$ là đường trung bình hình thang $AHKB$)

`=>IH=IK`

Mà `IC=ID` ($I$ là trung điểm $CD$)

`=>IH-IC=IK-ID`

`=>CH=DK` (đpcm)

$\\$

`d)` Ta có:

`\hat{ACH}+\hat{BCK}+\hat{ACB}=180°`

`=>\hat{ACH}+\hat{BCK}=180°-\hat{ACB}=180°-90°=90°`

Ta lại có: $∆ACH$ vuông tại $H$

`=>\hat{ACH}+\hat{CAH}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{CAH}=\hat{BCK}`

$\\$

Xét $∆ACH$ và $∆CBK$ có:

`\qquad \hat{AHC}=\hat{BKC}=90°`

`\qquad \hat{CAH}=\hat{BCK}`

`=>∆ACH∽∆CBK` (g-g)

`=>{HA}/{KC}={CH}/{BK}`

`=>KC.CH=HA.BK` $(3)$

Vì `CH=DK`

`=>KC=DK+CD=CH+CD=HD`

`(3)=>HD.DK=HA.BK` (đpcm)